深度理解面积关系逐步提升解决问题水平 实际面积和展开面积一样吗

深度理解面积关系逐步提升解决问题水平

2. 理解三角形与平行四边形之间的关系 在面积推导的过程中，学生理解了转化前后三角形与平 行四边形面积之间的关系。在练习的过程中，还需要进一步 丰富学生对三角形的面积与平行四边形面积之间关系的认 识。在教学教材第12页第7题的过程中（如图9），可以安排这样三个教学过程：
首先只出示（图10），让学生想一想：有一个三角形的 面积是平行四边形面积的一半，这样的三角形可能是什么样 子？学生根据前面的经验想到一定是等底等高。接着出示图 9，通过判断的过程，让学生知道三角形的面积是平行四边 形面积的一半，三角形不一定与平行四边形等底等高。然后 联系面积公式想到，只要三角形底与高的积是平行四边形底 与高积的一半，那么三角形的面积就是平行四边形面积的一 半。最后再想一想：如果一个三角形与这个平行四边形面积 相等，会是什么样的图形？学生想到如果三角形的底与平行 四边形的底相等，高是它的两倍，两个图形的面积相等。也 可能想到三角形的高与平行四边形的高相等，但是底是它的 两倍，这两个图形的面积相等。进一步推广，如果三角形的 底与高的积是平行四边形底与高的积的两倍，那么三角形和 平行四边形的面积相等。通过上述过程，让学生从三角形是 平行四边形一半的关系走向两者相等的关系，逐步加深了对 两者面积之间关系的理解。

3. 理解梯形与平行四边形、三角形之间的关系 学生在面积公式推导的过程中，理解了转化前后梯形与 平行四边形的关系后，还需要进一步深入理解平行四边形与 梯形面积之间的关系，并且建立梯形的面积与三角形面积之 间的关系。可以通过这样三个层次的练习：
第一层次：首先只出示图11中的平行四边形（1号图），让学生想一想：一个梯形的面积是它的一半，这个梯形可能 是什么样子？然后出示2号图与3号图，学生首先想到如果梯 形的上下底的和与平行四边形的底相等，高与平行四边形的 高相等，那么梯形的面积是平行四边形面积的一半。出示4 号图形，让学生进一步推广，如果梯形上下底的和与高的积 与平行四边形的底与高的积相等，那么梯形的面积是平行四 边形面积的一半。第二层次：让学生想一想，如果一个梯形 的面积和这个平行四边形的面积相等，这个梯形可能是什么 样子？让学生联系面积推导的过程进一步体会到，如果梯形 上下底的和与高的积是平行四边形底与高的积的2倍，那么 梯形的面积与平行四边形面积相等。第三层次：让学生思考， 一个三角形与3号图的面积相等，这个三角形可能是什么样 子？在学生思考后，出示5号图，并且得出结论：只要三角 形的底与梯形上下底的和相等，三角形的高与梯形的高相等， 梯形的面积就与三角形的面积相等。进一步推广，只要三角 形的底与高的积与梯形上下底的和与高的积相等，这两种图 形的面积就相等。通过这样三个层次的研究，进一步丰富平 行四边形与梯形面积之间关系的认识，并且建立三角形与梯 形面积之间的关系。

三、在综合运用过程中，逐步提升解决问题的水平 在学生理解了图形面积之间的关系后，在设计与长方形 面积相等的三角形、平行四边形和梯形的过程中（如图1）， 也需要分层安排学生解决问题的过程，逐步提升学生解决问题的水平。在教学过程中，可以这样处理：
第一层次，不计算长方形的面积，你能够直接画出与长 方形面积相等的平行四边形、三角形和梯形吗？ 第二层次，算出长方形的面积，你还能想到画出哪些与 长方形面积相等的平行四边形、三角形和梯形？ 上述第一个层次，让学生不计算，依据直觉去画图，再 找与长方形面积相等的平行四边形，直觉就是底与长方形的 一条边相等，高与长方形的另一条边相等。如果三角形的底 与长方形的一条边相等（或2倍），高是另一条边的2倍（或 相等），那么三角形的面积与长方形相等。如果梯形上下底 的和与长方形的一条边相等（或2倍），高是长方形另一条 边的2倍（或相等），那么梯形的面积与长方形的面积相等。

第二个层次，如果可以计算长方形的面积，则可进一步丰富 思考问题的过程，如果平行四边形的底与高的积与长方形长 与宽的积相等，那么平行四边形的面积与长方形的面积相 等；
如果三角形的底与高的积是长方形长和宽积的2倍，那 么三角形的面积与长方形的面积相等；
如果梯形上下底的和 与高的积是长方形长和宽积的2倍，那么梯形和长方形的面 积相等。通过上述两个层次的要求，丰富了学生解决问题的 思路，逐步提升了学生解决问题的能力。

学生在解决一个问题背后能否有多样的答案，并非一日 之功，需要教师整体把握某个单元或者某一知识的前后联系。

在前面学习的过程中，不断积累学生思考问题的经验，打通知识之间的关联，在后续的解决问题的过程中才会呈现出丰 富的答案。

新课程研究·基础教育