【化动为静―解圆锥曲线中的定值问题】秒解圆锥曲线

化动为静―解圆锥曲线中的定值问题

关键词：定值定点 圆锥曲线 特例 求解策略 动中觅静 以动制动 纵观近几年全国各地高考数学题的命制，都非常注重对学生能力的考查。

定值问题作为探索性问题之一，很好地具备了内容涉及面广、重点题型丰富，而 结论封闭、客观等命题要求，方便考查考生的分析、比较、猜测、归纳等综合能 力，因而受到命题人的喜爱。本文仅就圆锥曲线中的定值问题，作一点解法上的 探讨。

探求之一：
特值探路, 方向明确 在解数学题时，我们应该根据题目的特点，选取灵活的方法求解，而选择 题和填空题是一类只注重结果而不需写出解题过程的特殊问题q而大题解答中可 以根据特殊性与普遍性( 个性与共性) 的辨证关系, 以特例探路, 从特例中求出 几何量的定值。从而化繁为简，有了方向继而进行计算和推证。

例1：（山东理22） 已知动直线与椭圆C: 交于P、Q两不同点，且△OPQ 的面积=,其中O为坐标原点. （Ⅰ）证明和均为定值;
（Ⅱ）设线段PQ的中点为M，求的最大值；

（Ⅲ）椭圆C上是否存在点D,E,G，使得若存在，判断△DEG的形状；
若不存在，请说明理由. （I）解：（1）当直线的斜率不存在时，P，Q两点关于x轴对称，所以 因为在椭圆上，因此 ①又因为 所以 ②由①、②得 此时 （2）当直线的斜率存在时，设直线的方程为 由题意知m，将其代入，得， 其中即 …………（*） 又 所以 因为点O到直线的距离为 又整理得且符合（*）式， 此时 综上所述，结论成立。

波利亚所说:“特殊化石从考虑一组给定的对象集合过渡到考虑该集合的 一个较小的子集,或仅仅一个对象。” 特殊化策略是一种退的策略，通过特殊探 索法借助“退”的结果不但能够确定出定值，还可以为我们提供解题的线索。

探求之二：利用恒等，方程架桥 例2：.已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合， 椭圆与抛物线在第一象限的交点为，.圆的圆心是抛物线上的动点, 圆与轴交于两点，且. （1）求椭圆的方程；

（2）证明:无论点运动到何处,圆恒经过椭圆上一定点. 解：（1）∵抛物线的焦点坐标为， ∴点的坐标为. ∴椭圆的左焦点的坐标为，抛物线的准线方程为. 设点的坐标为，由抛物线的定义可知,∵, ∴，解得. 由，且,得.∴点的坐标为. . . ∴.∴椭圆的方程为. （2）设点的坐标为,圆的半径为， ∵ 圆与轴交于两点，且, ∴ .∴. ∴圆的方程为. ∵ 点是抛物线上的动点,∴ (). ∴.把代入消去整理 得:. 方程对任意实数恒成立， ∴ 解得 ∵点在椭圆:上, ∴无论点运动到何处,圆恒经过椭圆上一定点. 探求之三：设参消参，借梯借船 从整体考虑,瞄准所求,抓住本质,巧设未知数,设而不求,或整体求解,或代换 转化,不仅会使问题化繁为简,化难为易,而且有助于培养同学们创造性思维,提高 同学们的分析问题、解决问题的能力.例3：. 已知椭圆C：＝1(a＞b＞0)，F为其焦点，离心率为e。

（Ⅰ）若抛物线x＝y2的准线经过F点且椭圆C经过P(2,3)，求此时椭圆C的 方程；

（Ⅱ）过A(0, a)的直线与椭圆C相切于M，交x轴于B，且＝，求证：μ＋c2 ＝0。

解：（Ⅰ）依题意知(-2，0)，即 由椭圆定义知：, 所以,即椭圆的方程为：. (Ⅱ)证明：由题意可设直线的方程为：
根据过的直线与椭圆相切 ,可得：
易知设,则由上知 由知 ， 探求之四：数形结合,依旧好用 “数缺形时少直觉 ,形少数时难入微 ,数形结合百般好 ,隔离分离万事非”. 这说明以形助数可以使许多抽象的概念和复杂的关系直观化、形象化 .那么“形” 从何来 “形”从我们学过的知识中来 ,解析几何中大量存在着我们需要的“形”,所 以我们在教学中应强调几何模型与数学问题的转换。结合图象合理选取求弦长问 题的方法。

例4：设，点在轴的负半轴上，点在轴上，且． （1）当点在轴上运动时，求点的轨迹的方程；

（2）若，是否存在垂直轴的直线被以为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出直线的方程；
若不存在，请说明理由． 解：（1），故为的中点．设，由点在轴的负半轴上， 则 又， 又， 所以，点的轨迹的方程为 （2）设的中点为，垂直于轴的直线方程为， 以为直径的圆交于两点，的中点为． ， -------9分 所以，令，则对任意满足条件的， 都有（与无关），即为定值． 求定值是解析几何中颇有难度的一类问题，由于它在解题之前不知道定值 的结果，因而更增添了题目的神秘色彩。解决这类问题时，要善于运用辩证的观 点去思考分析，在动点的“变”中寻求定值的“不变”性。因此面对高考试题的命题 原则, 应逐步养成分析条件、探究方向、选择方法、设计程序的良好思维习惯, 是从根本上提高数学能力的重要保证