【有趣的数学勾股定理（共2篇）】 勾股定理

有趣的数学勾股定理（共2篇）

今天我们教科书上的多种证明，在此一一列举出来，可能对同学们学 习数学以及培养数学兴趣有所帮助。并在今后的学习中铺平道路，对勾股定理有 趣的文化有一个更加深刻的认识。

一、勾股世界 我国是最早了解勾股定理的国家之一，在我国最古老的数学经典著作 《周髀算经》上记载着这样一段历史：西周开国之初(约公元前一千多年)有一个 叫商高的数学家对周公(周武王的弟弟，封在鲁国当诸候)说：把一根直尺折成直 角，两端连结起来构成一个直角三角形.它的短直角边称为勾，长直角边称为股， 斜边称为弦。发现如勾为3，股为4，那么弦必为5。这就是勾股定理，又称商高 定理。

在西方公元前六世纪到公元前五世纪希腊数学家毕达哥拉斯也发现 这一定理，并给出了证明，但他的证明也已失传。后来欧几里得写《几何原本》 时，给出一个证明留传至今(后文我们再补充，丰富同学们的视野)。因而西方称 这一定理为毕达哥拉斯定理。这一定理在数学上有广泛的应用，而且工程技术， 测量中也有许多应用。它在人类文明史上有重要的地位。

而在中国的有一位古代数学家赵爽在继商高之后证明了勾股定理。他 这个证明可谓别具匠心，极富创新意识。他用几何图形的截、割、拼、补来证明 代数式之间的恒等关系(与我们今天教科书上一些证明方法的大致类似)。既具严 密性，又具直观性，为中国古代以形证数、形数统一、代数和几何紧密结合、互 不可分的独特风格树立了一个典范。以后的数学家大多继承了这一风格并且有所发展。稍后一点的刘徽在证明勾股定理时也是用的以形证数的方法，只是具体图 形的分合移补略有不同而已。

二、勾股定理的多种证明方法(以教科书编排为序)：
第一种证明：教科书P3，通过直接数出正方形A、B、C的小方格数， 将不足一格的方格算半个。结果来看它们之间的关系。小方格数即为面积。由此 方法可以得出正方形A、B的面积与正方形C的面积相等。

第二种证明：教科书P8，如图所示：
分析：正方形EFGH的面积=正方形ABCD-周围四个小三角形的面积。

计算：正方形ABCD边长为a+b，则面积为(a+b)2，小三角形的面积为， 代入分析里面的公式得：(a+b)2 -4€a2+b2而正方形EFGH的面积也可表示为：c2， 所以：a2+b2=c2 第三种证明：教科书P8，如图所示：
分析：正方形ABCD=正方形EFGH+小正方形EFGH周围的四个小三 角形的面积。

计算：正方形EFGH的边长为b-a，则面积为(b-a)2，小三角形的面积 为，代入分析里面的公式得：(b-a)2 +4€祝ǎa2+b2，而正方形ABCD的面积也可表 示为：c2，所以：a2+b2=c2 这里验证勾股定理的方法，据载最早是由三国时期数学家赵爽在为 《周髀算经》作注时给出的。我国历史上将图中弦上的正方形称为弦图。这也是 2002年世界数学家大会(ICM-2002)在北京召开的会标。如右图所示中央图案正是 经过艺术处理的“弦图”，它既标志着中国古代的数学成就，又像一只转动的风车， 欢迎来自世界各地的数学家们! 第四种证明：教科书P11，是美国总统Garfield(伽菲尔德总统)于1876 年给出的一种验证勾股定理的办法。整个事情经过是这样的：在1876年一个周末 的傍晚，在美国首都华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景， 他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德。他走着走着，突然发现附近的一 个小石凳上，有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么，时而大声争论，时而小声探讨。由于好奇心驱使伽菲尔德循声向两个小孩走去，想搞清楚两个小孩到底在 干什么。只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形。于是， 伽菲尔德便问他们在干什么只见那个小男孩头也不抬地说：“请问先生，如果直 角三角形的两条直角边分别为3和4，那么斜边长为多少呢”伽菲尔德答道：“是5 呀。小男孩又问道：“如果两条直角边分别为5和7，那么这个直角三角形的斜边 长又是多少”伽菲尔德不加思索地回答到：“那斜边的平方一定等于5的平方加上7 的平方。”小男孩又说道：“先生，你能说出其中的道理吗”伽菲尔德一时语塞， 无法解释了，心理很不是滋味。

于是伽菲尔德不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他留下的难题。

他经过反复的思考与演算，终于弄清楚了其中的道理，并给出了简洁的证明方法。

分析：四边形ABED是直角梯形，可通过求梯形的面积减掉两个小三 角形的面积而得出△ACB的面积。

计算：由梯形面积公式得梯形面积为[(a+b)€祝╝+b)]€，△ADC与△BEC 的面积和为：ab，所以△ACB的面积=梯形的面积-△ADC与△BEC的面积和，代 入以上数据进行化简得：，由图中可知△ACB的面积也可以表示为。因此 = ， 最后得出：
a2+b2=c2 第五种证明：教科书P13，是历史上有名的“青朱出入图”如图所示。

刘徽在他的《九章算术注》中给出了注解，大意是：△ABC直角三角形，以勾为 边的正方形为朱方，以股为边的正方形为青方，以盈补虚，将朱、青二方并成弦 方。依其面积关系有 2+b2=c2。“青朱出入图不用运算，单靠移动几块图形就直 观地证出了勾股定理，真是“无字证明”! 第六种证明：教科书P15-16， 意大利文艺复兴时代的著名画家达·芬奇对勾股定理也曾进行了研究。

他的验证勾股定理的方法可以从下面的实验中得到体现。

(1)在一张长方形的纸板上画两个边长分别为a、b正方形，并连接BC、 FE(如图①示)。

(2)沿ABCDEFA剪下，得到两个大小相同的纸板Ⅰ，Ⅱ，如图②所示。

(3)将纸板Ⅱ翻转后与Ⅰ拼成如图③所示的图形。(4)比较图①，图③中两个多边形ABCEEF和A’B’C’D’E’F’的面积，发 现两个的面积是一样的。就能得出勾股定理的存在。

本种证明补充说明一下：同样两个纸板翻了下，就能证明，很明显， 原图中剪掉的两个小三角形面积都在，翻一下只不过将剪掉的两个小正方形合并 为一个正方形了，从而得出勾股定理的存在。

第七种证明：教科书P16，也是“无字证明”如图所示，过较大正方形 的中心，作两条互垂直的线，将其分成4份，然后，将这四个部分围在四周，小 正方形填在中间，恰好得到大正方形。

第八种证明(书本上没有列出)：
欧几里德对直角三角形三边关系上有着独特的方法进行了论证，证明 过程如图所示：
证明：在Rt△ABC中，∠BAC=90€埃訟B、AC、BC为边向外有三个 正方形：正方形ABDE，正方形ACGF，正方形BCHJ。连接DC、AJ。过A点作 AN⊥JH，垂足为N，交BC于M。先通过SAS，可得△ABJ≌△DBC， 因此它们 的面积相等。而正方形ABDE的面积=2△DBC的面积，长方形BMNJ的面积 =2△ABJ的面积。因此，正方形ABDE的面积=长方形BMNJ的面积。同理可得正 方形ACGF的面积 = 长方形CMNH的面积。从而：BC2=AB2+AC2，即：a2+b2=c2。

三、结束语 通过以上的八种证明方法，相信同学们对于勾股定理会铭记在心，使 这个烙印永远烙在心底，为数学的学习树立更为坚定的信心，为明天的学习奠定 更为坚实的基础，为心中的理想目标迈出成功的一步。让这次洗礼成为中学学习 生活中最为难忘的一堂课，而且在今后的运用中会更加得心应手，我也相信你们 会向古代数学家们一样，遇到问题会去探索、发现、归纳和概括。

作者：赵祖洪 来源：读写算·素质教育论坛 2017年4期 第2篇:在《勾股定理》教学中渗透数学文化 勾股定理是欧式平面几何的一个核心结果，是三角学的出发点，与“黄金分 割”一起被开普勒称为“几何学两个宝藏”。它在直角三角形的三条边之间建立了固定关系，使人们对原来几何学的感性认识精确化，其中体现出来的“数形统一”的 思想方法，启发了人类对数学的深入思考，促成了解析几何与三角学的建立，使 数学的两大门类代数和几何结合起来，许多大科学家都认为勾股定理以及处理数 据的数学方法深深地影响了现在许多学科的思考模式。

一、通过课下上网、查阅资料，课上小组汇报的方式，让学生了解勾股定 理在人类科学发展史上的地位 了解我国古代研究勾股定理的成就，从而培养学生的民族自豪感;知 道勾股定理的多种证明方法，能重点介绍并掌握其中的几种证法。一类是利用一 些全等的直角三角形纸片拼成正方形或直角梯形，(如弦图和总统证法)，另一类 是将一种图案通过割补法转化为另一种几何图案，通过面积的计算方式不同从而 建立三边之间的关系，获得勾股定理的证明。用拼图的方法验证勾股定理的思路 是：
①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定 理 常见方法如下：
在我们的教材中，提及了许多传统文化教育、数学文化的例子，我们 可以充分发掘其中潜在的传统文化教育因素，不失时机地潜移默化地进行传统文 化教育，润物细无声地培养学生的数学素养。

作者：李艳玲 来源：学校教育研究 2016年15期