[讲活·讲透·讲深--以含参数的二次函数综合题讲评课为例谈习题教学的追求]

讲活·讲透·讲深--以含参数的二次函数综合题讲评课为例谈习题教学的追求

郑毓信教授曾说：“教师的特色不应主要体现于教学方 法或模式，而应反映出教师对教学内容的深刻理解，体现出 对学生和教学活动本质的深入思考以及对课堂与教师自身 价值的深刻理解。”习题课、复习课选题备课的研究需要综 合教师解题理解的能力、洞察问题结构的“眼力”、在理解 学生的基础上精准定位学情的能力、必备的试题改编（命题） 能力等诸多专业功夫。

在本地区最近的中考复习研讨会上，笔者有机会开设中 考复习研讨课。经过构思，笔者选取了本地区最近的调研卷 中一道得分率不高的二次函数综合题，并“链接”了一道同 类考题，最后又“回到前例”，变式再练，回环往复，带领 学生对同类难题进行了较有深度的探究，取得了较好的教学 效果。下面，先概述本节课的教学过程和思考，再进一步阐 释教学立意，以供研讨。一、教学过程与思考 （一）探究例1，初遇难题 笔者出示本地区最近的调研卷中的一道二次函数综合 题，作为例1：
例1在平面直角坐标系xOy中，直线y＝－14x＋n经过点 A(－4，2)，分别与x、y轴交于点B、C，抛物线y＝x2－2mx ＋m2－n的顶点为D。

（1）求点B、C的坐标；

（2）直接写出抛物线顶点D的坐标（用含m的式子表示）；

（3）若抛物线y＝x2－2mx＋m2－n与线段BC有公共点， 求m的取值范围。

这道题前两问较简单，班级多数学生都能顺利解出B（4， 0）、C（0，1）、D（m，－1）。但是，第（3）问全班只有 6人求出m的取值范围（－2≤t≤5），而且解题步骤还不够 严谨。于是，笔者扫描呈现学生的典型解答（即如图1所示 的4位学生的解答），安排“采访”相关“当事学生”，请 他们谈谈自己是如何思考的。

采访的同时，其他学生有了熟悉、理解题意的时间。待 多数学生对例1的一些基础条件都熟悉之后，笔者继续给出 如下变式问题：
变式1若抛物线y＝x2－2mx＋m2－n与线段BC有两个交 点，直接写出m的取值范围。

变式2若抛物线y＝x2－2mx＋m2－n与直线BC有两个交点，求m的取值范围（说出思路即可）。

这两个变式问题将原考题引向深入，丰富和加深学生对 这类问题的理解，同时又为后续例题的探究提供了必要准备。

（二）探究例2，挑战难题 笔者出示2016年河北中考卷中的一道二次函数综合题， 作为例2。对此，首先出示题干条件，安排学生理解后自主 提出问题，小组内交流，再全班汇报展示。在此基础上，顺 着学生的交流展示出示原题设问。

例2如图2，抛物线L：y＝－12(x－t)(x－t＋4)(常数 t>0)与x轴从左到右交点为B、A。过线段OA的中点M作MP⊥x 轴，交双曲线y＝kx(k>0，x>0)于点P，且OA·MP＝12。

（1）求k的值；

（2）当t＝1时，求AB的长，并求直线MP与抛物线L的对 称轴之间的距离；

（3）证明抛物线L与直线y＝3没有交点。

在上述问题成功突破之后，学生对“AB＝4”“平移前 后抛物线顶点一定在直线y＝2”等都有了深刻的认识，为进 一步探究“挑战”做好了准备。

这时，笔者继续给出如下挑战问题：
挑战设L与双曲线有个交点的横坐标为x0，且满足4≤x0 ≤6，通过L位置随t变化的过程，分析t的取值范围。

这是本节课的难点。笔者让学生先独立探究5分钟，再 小组内交流讨论。小组内“确认”解答后（一般是错误答案“5≤t≤8＋2”），笔者展示几何画板课件（其截图如图3~ 图5），演示错误的原因。

（三）回到例1，继续解答 笔者引导学生“回到”例1，继续解答以下问题：
（1）当m＝2时，抛物线顶点D的到原点O的距离是；

（2）设抛物线与直线BC有个交点的横坐标为x0，且满 足0≤x0≤4，则m的取值范围是；

（3）设抛物线与直线BC有个交点的横坐标为x0，且满 足1≤x0≤2，分析m的取值范围。

这里，第（1）问特例引路，回顾例1中抛物线解析式的 特点，并确认顶点D（2，－1）。第（2）问训练学生“眼力”， 思维能力强的学生很快发现这个小问对应例1中“抛物线y＝ x2－2mx＋m2－n与线段BC有公共点，求m的取值范围”，答 案一样。第（3）问对应例2的“挑战”，预设思路与答案的 PPT截图如图6。

最后是课堂小结，布置作业，省略。

二、教学立意的进一步阐释 （一）深刻理解考题，让抽象问题形象起来 面对一些较难的模考题（这类模考题多是复制粘贴、简 单改编各地中考试题而来的），教师首先要独立贯通思路， 然后检索来源、出处，并对比与之相关（近）的同类问题， 把这类问题的结构想清辨明；
在此基础上，要针对抽象晦涩 的设问或难于理解的参数问题，尝试构建恰当的图形，以形助数，让抽象问题形象起来，让隐蔽难言的思维变得形象生 动。上述课例中，笔者针对例题2的“挑战”问题，通过几 何画板软件，在抛物线平移过程中与曲线段交点情况进行 “聚焦、放大”，引导学生明辨“细微”，把抽象问题形象 化，也就取得了较好的教学效果。

（二）重视同类跟进，把难点问题讲透讲深 上述课例中，例1最后一问的评分标准是：只要得到解 答“－2≤t≤5”，就给满分。这一过程对于为何舍去－2、 3这两个数值，没有特别有力的解释，就给例2“挑战”的出 错埋下了隐患。教学过程中，一些优秀的学生很快突破难点， 写出“5≤t≤8＋2”，其深层次的错因就是解答例1时，舍 弃－2、3过于草率，得到所谓的“满分解答”“－2≤t≤5” 过于容易。所以在讲评例1之后，同类跟进，“链接”到一 道挑战题，而这道题的真正易错点又恰恰隐含在例题最后一 问的解法漏洞中。通过同类跟进，使原有解法的缺陷得到暴 露。面对变式难题出现错漏，加深了学生对这个难点的理解， 促进了他们在“失败的教训中”把问题学透、学深。

（三）预设变式习题，让学情反馈落到实处 在例1、例2的师生互动式的讲评之后，不少学生可能觉 得对这类难题已经掌握，这时有效反馈学情的手段就是“变 式再练”。变式习题最好与原有例题的题干保持高度一致或 相关，以便节约课堂上的宝贵时间（我们常常见到不少课堂 频繁更换“新题”，导致学生在解读新题的题干上耗费不少时间）。让学生“回到例1”题干之后，不增加学生对例题 题干的探究时间，这样再次迎难而上，变式拓展，成果扩大， 正是我们倡导“变式再练”的真正意图。从这个意义上看， 扎实的命题能力也就成为这类习题课的教学基本功了，因为 这类“变式再练”题总是需要教师针对原有例题进行变式改 编，而不可能简单的“拿来主义”。

参考文献：
［1］ 郑毓信．数学教师资格考试“试题”的几个思考 ［J］．人民教育，2015（18）. ［2］ 刘东升．我们需要怎样的“问题”驱动课堂—— 由美国莎维女士执教的函数图像课说起［J］．教育研究与 评论（课堂观察），2016（11）. ［3］ 张诚，张成品.经营“转场”：让教学环节过渡 自然——《中学数学》（下）2015年1~3月读刊随笔［J］. 中学数学（下旬），2015（5）.