根轨迹实验【基于,MATLAB,的根轨迹法仿真实验系统设计与实现】

基于 MATLAB 的根轨迹法仿真实验系统设计与实现

一、引言 1948年，W.R.Evans（伊凡斯）根据反馈系统开环和闭 环传递函数之间的关系，提出了一种简便的方法，由开环传 递函数来直接寻求闭环特征根的轨迹的总体规律，而无须求 解高阶系统的特征根。这在工程实践中获得了广泛的应用， 这就是根轨迹法。根轨迹法是经典控制理论中一种重要的研 究方法，是一种分析和设计线性系统的图解方法。但在教学 过程中，手工绘制根轨迹图较为繁琐，将占用较多的宝贵的 课堂时间，因此我们基于MATLAB的图形用户界面以及强大的 数据处理功能，开发了根轨迹法仿真实验系统，借助于该系 统，教师能够将课堂的主要时间与精力放在对理论的讲解上， 学生只需具备基本的计算机应用能力，就能够灵活地使用该 系统辅助学习。二、线性系统的根轨迹法简介 控制系统的基本性能主要是由其特征方程的根，也就是 闭环传递函数的极点决定的。但当系统高于三阶时，求根是 困难的，特别是当研究系统中某些参数变化对特征根的影响 时，需要反复的求根计算，这就更加麻烦了。根轨迹法是一 种求系统闭环极点的图解方法。其定义一般可以表述为：根 轨迹是指当系统中某个参数（如开环增益K）从零变到无穷 大时，闭环特征根在s平面上移动的轨迹。

根轨迹图直观地表明了某参数变化时，闭环极点所发生 的变化，因此，根轨迹全面描述了参数对闭环极点的影响。

有了根轨迹就可以分析系统的稳定性、稳态性能、动态性能。

根轨迹法的思路是：依据控制系统开环与闭环传递函数的确 定关系，通过开环传递函数直接绘制闭环根轨迹。

三、主要功能模块的设计与实现 根轨迹法仿真实验系统主要包括根据输入参数，绘制常 规根轨迹、参数根轨迹以及零度根轨迹的功能模块，以及实 现了超前校正、滞后校正和超前-滞后校正的根轨迹法校正 功能模块。如图1所示：
（一）常规根轨迹及其仿真实现 对于如图2所示的典型控制系统，其开环传递函数为。

根轨迹方程可以用一下两个方程表示，即模值方程 （二）参数根轨迹及仿真实现 在控制理论中，把以非开环增益K（或）为可变参数绘制的根轨迹称为参数根轨迹。如图4所示：
式中：即为等效的开环传递函数。引入等效开环传递函 数的概念，可以使参数根轨迹的绘制方法与常根轨迹完全相 同。

【仿真实例2】：已知单位负反馈系统的开环传递函数 为试绘制系统的根轨迹。

解：在相应的参数根轨迹形式中将该传递函数进行输入， 点击等效开环传递函数按钮，可得到该传递函数对应的等效 开环传递函数，再点击根轨迹图按钮，可得到参数T变化时 的根轨迹图，如图5、图6所示：
（三）零度根轨迹及仿真实现 在复杂的控制系统中，可能会遇到具有正反馈的内回路， 通常把正反馈系统的根轨迹成为零度根轨迹。与常规根轨迹 对比可知，二者的模值方程完全相同，仅相角方程有所改变。

因此只要在绘制常规根轨迹的法则中，修改那些与相角方程 有关的部分，就可以用来绘制零度根轨迹。

【仿真实例3】：已知某正反馈系统的开环传递函数为， 试绘制其根轨迹图。

解：该开环传递函数非标准的零极点形式，先求出其开 环零极点为：零点-2，极点-3、-1+i、-1-i，将其输入到输 入框中，然后点击根轨迹图按钮，则在界面上显示出该开环 传递函数及其零度根轨迹图。仿真结果如图7所示：
（四）线性系统的根轨迹法校正当控制系统的稳态、静态性能不能满足实际工程中所要 求的性能指标时，首先可以考虑调整系统中可以调整的参 数；
如果通过调整参数仍无法满足要求，则可以在原有系统 中添加一些装置和元件，认为改变系统的结构和性能，使之 满足要求的性能指标，把这种方法称为校正。当系统的性能 指标是以最大超调量、上升时间、调节时间、阻尼比以及期 望的闭环阻尼比、闭环极点无阻尼振荡频率等表示时，采用 根轨迹法进行校正比较方便，在设计系统时，如果需要对增 益以外的参数进行调整，则必须通过引入适当的校正装置来 改变原来的零极点。

限于篇幅，本文重点介绍超前-滞后校正模块的设计与 实现。

超前-滞后校正装置的传递函数为：
超前-滞后校正装置的一对零点和极点与超前校正装置 的零点和极点的位置相对应，它们远离原点；
另一对零点和 极点与滞后校正装置的零点和极点位置相对应，它们是一对 偶极子，接近原点。

所以，超前-滞后校正装置兼有超前校正的功能和滞后 校正的功能，即它既能增加系统的快速性，又能减小系统的 静态误差。

由以上的分析可知，在设计超前-滞后校正装置时，可 以将其分解为超前校正装置和滞后校正装置分别设计。超前 -滞后校正的步骤如下：1、根据给定的性能指标确定希望的主导极点Sd位置；

2、根据给定的闭环主导极点Sd来计算所需要的超前角；

3、根据步骤2所得的超前相角选择合适的算法计算校正 装置传递函数中超前校正部分的零点和极点；

4、利用给定的系统参数，利用模值条件计算校正装置 的比例系数；

解：在界面中对应的滞后校正模块中输入要求达到的指 标参数，点击滞后校正按钮，仿真结果如图9、图10所示：
校正前后系统的比较：在单位阶跃响应图上可得到系统 的超调量和调节时间。由结果可以看出，校正前的系统超调 量=67.3％，调节时间ts=14.6s；
校正后的超调量=24.2％， 调节时间ts=2.52s，超调量变小，调节时间变短，可知校正 后系统的性能显著提 从根轨迹图可以看出，校正后系统根轨迹左移，从而提 高系统的相对稳定性，缩短了系统调节时间。同时，系统的 静态性能指标也能够满足要求。

三、小结 基于MATLAB的根轨迹法仿真实验系统主要设计与实现 了经典控制理论的根轨迹分析法中常规根轨迹、参数根轨迹 以及参数根轨迹绘制功能，同时实现了根轨迹法校正的三种 主要校正方式：超前校正、滞后校正和超前-滞后校正。通 过GUI设计的人机交互界面模块划分清晰、参数设置合理， 图形显示直观易用。教学实践中实际使用表明该系统能够帮助学生加深对线性线性系统根轨迹法的理解，也是学生验证 对理论的理解与应用时的一个有力的工具。同时能够将教师 从手工绘制频率特性曲线等重复的工作中解放出来，提高课 堂教学效率。

参考文献: [1] 陈复扬.自动控制原理（第2版）.北京：国防工业 出版社.2013.08 [2] 赵广元.Matlab与控制系统仿真实践（第2版）.北 京航空航天大学出版社.2012.07 [3] 张德丰.Matlab控制系统设计与仿真.北京：清华大 学出版社.2014.12 [4] 刘保柱，苏彦华，张宏林.MATLAB 7.0从入门到精 通（修订版）.北京：人民邮电出版社.2010.05 [5] 胡寿松.自动控制原理习题解析.北京：科学出版社， 2012.02