分类讨论思想在高中数学解题中的应用|数学解题思想

分类讨论思想在高中数学解题中的应用

例题1 存在函数y=x2—2x，x∈[-2，a]，求函数的最小 值。

解析：在二次函数的解题中经常会使用到分类讨论，如 例题1所示的题目，也是较为常见的二次函数求最值题。在 解答这一问题时，学生根据所学知识，首先会想到该函数的 对称轴为直线x=1，但是x=1是不是在区间[-2，a]之内，就 需要进行分类讨论。在讨论过程中，据题目提供的条件，需 要明确讨论的对象参数并进行合理的分类讨论，从分类讨论 的过程可以发现，分类讨论需要做到全面且有层次，不能重 复也不能有所遗漏，任何一项失误都会导致最后的结果错误。

在分类中，还需要统一标准，有层次、分阶段地讨论，不能 盲目随意地分类讨论，否则也容易出差错。也就是说，在进行分类的时候，应根据题目条件和问题的性质，尽可能少地、 精准地分类，在不重复不缺漏的情况下，有了层次分明的分 类后，自然能够正确地解答问题。

二、掌握定理，正确分类 在高中数学中有很多公式定理其实都与分类讨论相关， 这是因为在公式以及定理中本身就存在严格的限制条件，故 而根据定理或公式进行解题的时候就需要依据这些定理的 限制条件进行相关的分类讨论，以避开讨论结果不严谨的情 况。不少学生不能争取让运用分类讨论的思想解题，很大一 部分原因也在于对定理、公式的掌握不透彻，解题时没能充 分考虑到所使用的定理和公式的限制条件。根据定理、公式 运用的分类讨论，在等比数列的求和公式、绝对值的定义以 及二次函数的定义等方面十分常见，教师教学时要注意引导 学生透彻掌握定理、公式。

例题2 存在二次函数y=（a-1）xb+1+x2+1，试求a和b的 取值范围。

解析：解这道题时主要是根据二次函数的性质定理来进 行相应的分类讨论，因为y=（a-1）xb+1+x2+1是二次函数， 那么x的指数明显不能超过2，据此（b+1）的值就可以分成 三种情况：（b+1）=1或（b+1）=0或（b+1）=2，根据这三 种情况讨论b的取值范围，对a的取值范围的讨论也根据二次 函数的定义及性质理论进行同样的分类讨论。又如，在求等 比数列前n项和的题目中，主要依据的也是等比数列的求和公式，就需要分q=1和q≠1两种情况进行讨论了。这些都是 根据定理或公式展开的分类讨论，可见在数学教学或解题中 使用分类讨论的思想，主要定理与公式是必须掌握的。这一 类型的分类就是数学概念上的知识运用，利用概念进行解题 的时候，分类是十分重要的。此外，有一些数学定理和公式 在定义的时候所要求的范围已经有了限制，对于这种前提也 需要使用分类讨论的思想，这点教师在教学中需要注意。

三、准确理解，确定分类 结合近年来的高考题目不难发现，分类讨论思想愈发成 为重点考查的知识点，尤其是往后的大题中，使用分类讨论 解题更加普遍。其中，那些需要根据不同的参数来确定分类 标准的题目，其确定的过程更直接决定着整道题目能否正确 解开，这就要求教师在教学中应引导学生把握好分类讨论， 正确认识分类标准并能做出合理的分类，以应对考试中的各 种变化。

例题3实数k为何值时，方程kx2 +2|x|+k=0有实数解？ 对于数学题目何时需要分类讨论，则要根据题中所给条 件而定，并没有硬性的规定，更没有直接可以套用的公式和 规律。我们只有在教学时不断积累经验，不断改进方法，才 能使学生正确合理地应用分类讨论。在解题时，应注意挖掘 题目中的极个别情形进行分类讨论。例如：“方程ax2 +bx+c=0 有实数解”转化为Δ= b2 -4ac时忽略了个别情形：当a=0时， 方程虽然有解但不能转化为Δ ≥ 0；
又如：设直线方程时，不能直接设直线的斜率为k，当直线与x轴垂直时，直线无斜 率，应另行考虑，这样直线方程要分有斜率和没有斜率两类 情形讨论；
再如：等比数列{an}的前n项和公式也是分为q=1 和q≠1两类情形给出的，等等类似问题都需要分类考虑。

四、合作学习，深化讨论 分类讨论在高中数学中的运用是多方面的，其学习的组 织形式上也可以是多种多样的，小组合作的形式是经过证明 后比较有效地一种学习方式。同样的，将小组合作学习的形 式与分类讨论的教学相结合，指导学生通过分类讨论相关知 识，可以促使学生互相交换不同的学习意见，既能够及时解 决学生在学习当中的困惑，也可以在讨论中获得一个比较明 确的答案。

在分类讨论的教学中，小组合作的活动形式可以是多样 的，如教师可以让学生将新旧知识结合起来进行分类讨论， 像方程、不等式等就可以进行分类讨论；
也可以将同类的高 考题目或者月考题型集中起来进行分类讨论；
还可以就数学 概念之间的相似与不同进行分类讨论与归类，加深对数学概 念的印象等。可以说，分类讨并不只是运用在具体的某一类 题型的解答中，而是可以渗透在数学的方方面面，它可以是 抽象的，也可以是具象的。同时，小组的合作学习能够打破 个体学习的局限性，增强学生学习的趣味性，提高学生的学 习自信心，引导学生将来主动地分类、思考。

综上所述，分类讨论思想在高中数学中的运用相当广泛，它不仅可以帮助学生理清思路、快速解题，提高解题的正确 率，同时还能够有效锻炼学生的解题思维，对学生数学学习 中的严密性和灵活性之训练也有帮助。从高考来看，很多问 题也是离不开分类讨论思想的。因此，在教学中，教师要结 合自己的教学经验，总结出更多更有效的方法，帮助学生充 分使用分类讨论思想来解题。

参考文献：
[1]徐云军，冯霞.新课改下高中数学课堂提问的方法策 略[J].科学咨询（教育科研），2010（11）. [2]王先国.浅谈数学解证题中逻辑思维能力的培养[J]. 现代阅读（教育版），2013（3）. [3]李洪刚.谈新形势下怎样引导学生学习高中数学[J]. 现代教育，2011（5）. [4]赵慧.分类讨论思想在高中数学教学中的运用[J]. 考试周刊，2010（38）.课程教育研究·学法教法研究