一道数学填空题引发对细节的思考
一道数学填空题引发对细节的思考 备课组老师有的认为（1）的写法比较准确，有的则认 为两者都可作为正确答案. 必修一在第1章第2节：函数及其表示中，通过集合给出 区间的概念，所以区间是集合，是一个数集，但区间必须指 的是一个连续的范围，所以区间并不等同于集合，或者说， 并不等同于数集.在很多情况下，区间与数集具有相同的效 果，可以相互转化表示某一个范围，如：
例1：[1，5]={x/1≤x≤5}，（1，5）={x/1 例2：
函数f（x）=ln（x-6x+5）的定义域：既可以表示成（-∞， 1）∪（5，+∞），又可以表示成{x/x<1或x>5}. 例3：函数f（x）=lg（x-1）既可以说在（1，+∞）递 增，又可以说在{x/x>1}上是增函数. 那么例1中的单调区间的两种表示方法是否都正确呢？ 笔者认为，第一种表示方法指的是多个区间，当k取不 同的整数的时候，表示不同的区间，如：k=-1表示区间（-， -），k=0表示区间（-，-），k=1表示区间（，），即k取遍 所有整数时的各个区间，即它不等同于这些集合的并集.而 第二种表示法方法指是多个区间的并集，即：…∪（-，-） ∪（-，-）∪（，）∪…即k取遍所有整数时所得区间的并 集.再者，我们了解，对于函数的单调性，只能在定义域的 某个区间上进行研究，不能将单调性相同的区间并起来，如 函数f（x）=的单调区间，学生容易误写成：（-∞，0）∪（0，+∞），而正确的写法为：函数的单调区间为（-∞，0） 和（0，+∞），它指的是函数有两个单调递增区间.所以例1 中的函数的单调区间应该是有无数多个，而不是取并集为一 个区间.这个问题其实在必修四中正切函数的性质也有所体 现：“正切函数在开区间（-+kπ，+kπ），k∈Z内都是增 函数.”认真观察我们便会发现，对于单调区间，课本是有 给出严谨的表示的，即三角函数中的单调区间基本都会用区 间表示. 所以事实上，数集和区间并不能等同，数集和区间在其 他地方也是有区别的.例如：对于离散的数集，可用集合{1， 2，3，4}表示，但不能用区间表示若给定集合{x/m-1-2，即 此区间一定有意义，不为空集. 所以数集和区间并不能简单地等同，它们之间存在区别， 我们必须认清它们的区别并正确使用，例如：函数y=lg （sinx）的定义域正确表示则应该为{x/2kπ 总之，区 间的概念是在集合的基础上给出的，在很多情况下区间和集 合可以相互转化. 其实在本题中，集合与区间的区别仅仅在于后面的k∈Z， 比如区间（，π）与集合{x/ 数学是一门非常严谨的学 科，数学教师应该在教学中处处体现其严谨性，这样学生才 能在学习中逐步形成严密的思维方式，在教学中不能模棱两 可，是就是，不是就不是，容不得半点纰漏，要注意各种细 节的不同.在
高中数学教学过程中，其实还有很多细节需要我们注意，比如此题学生所写答案除了本文开头两种外，还 有部分学生的答案为（3）{x/k·180°-75° 对于这个 答案，备课组老师们大多数认为，因为函数的定义域必须是 数集，而单调区间是定义域的一个子集，所以必须为数集， 那么就必须用弧度制表示，所以这类答案肯定不正确.那么， 事实真是如此吗？ 必修一是在两个非空数集的基础上给出函数的概念，于 是，在高中教学中，有很多老师在给学生介绍弧度制时都以 为了使研究三角函数时，使得角与实数集一一对应为理由， 但真的是如此吗？事实上，弧度制和角度制是度量角的两种 不同的方式，而其实，无论是角度制还是弧度制，都能使得 每个角都有
唯一的实数与之对应，也就是说，无是有角度制 还是弧度制，都能够建立三角函数，三角函数的定义域及单 调区间也能用角度制表示，所以笔者认为，第（4）种答案 也是可以的.那么到底为什么有了角度制还要引入弧度制 呢？我们知道角度制为六十进制，而弧度制是用长度单位度 量角，是一类十进制的实数，弧度制的定义巧妙地将长度单 位和角度单位统一起来，这给研究三角函数带来很大的便利. 而且在必修四给出三角函数的定式义时：是一个任意角，它 的终边与单位圆交于点P（x，y），那么，y叫做α的正弦， 即sinα=y，这个时候，y的单位为长度单位，若此时，角a 采用角度制，则它们的单位无法统一，而弧度制恰恰解决了 这个问题.当然，因为角度制是用角度量角，而弧度制是用长度度 量角，这种方式学生理解起来会有些困难，在教学中解释为 什么引入弧度制的必要是十分重要的，对于弧度制的理解， 必须贯穿整个三角函数的
学习中，即教学学习中都要尽量采 用弧度制以便学生习惯并掌握弧度制，角度制和弧度制是角 的两同的度量方式，这与用千克，磅度量质量一样，是一种 非常重要的认识，弧度制的引入最基本的作用体现在三角函 数的认识上. 老子曾说：“天下难事，必做于易；
天下大事，必作于 细。”要做好一件事，必须从最简单最细微的地方入手，在
科学领域中，细节是决定成败的关键.数学教学也是如此， 在教学过程中，一定要注重各种细节，即使是教学语言也要 注重细节，养成用词的习惯，这样学生才能吃透课本，深入 理解每个概念，从而真正掌握各个知识点，学好数学.总之， 教师的发展就是为了学生的发展，在教学中，对细节的不忽 视、不敷衍，是对学生负责任的一种体现. 摘 要：
数学是一门严谨的学科，教师的发展就是为了 每一位学生的发展，但是在教学过程中总是容易忽略一些细 节，这其实会阻碍学生的发展，要时刻记得注意细节是不容 忽视的，只有缜密的教学语言才能使学生形成严密的思维方 式.某次
考试后的集体改卷中，我们备课组成员对于该考卷 中的某道题目的处理产生了争议. 填空题13题：求函数y=sin（2x+）的单调递增区间.
学生给出的答案有主要有两种写法：
（1）（kπ-，kπ+）k∈Z（闭区间也给分） （2）{x/kπ-
