【尝试运用v-t图像破解运动学问题】运动学图像

尝试运用v-t图像破解运动学问题

仅就运动学模块而言，这类问题也随处可见。不过，一旦熟 练掌握并能够巧用v-t 图像，其中的一些问题将会柳暗花明、 迎刃而解，似乎算不上什么难题。

一、用v-t 图像求解最大速度 例1. 一辆从车站始发的汽车，做匀加速运动，走了12s 时，司机发现还有乘客没上来，于是立即做匀减速运动至停 车，总共历时20s，行进了50m，求：（1）汽车的最大速度 是多少？（2）开始减速前，该车已经走过了多少路程？此 题只告诉了匀加速、匀减速的时间及最大的位移，但并没有 告知加速度的具体情况，显然不能用Vt=Vo+at 来简单求证。

但是，既然提供了“由车站始发”“匀加速”“匀减速”及 最终“停车”的“时间”“位移”等条件，我们就可以通过 v-t 图像来加以解决，即：该汽车从“0”速度开始，在匀 加速至12s时，达到其最大速度（Vm），然后作匀减速运动， 至第20s 时，其速度减至最低速度（0），而其速度变化图 像与t轴围成的三角形面积（S），则是该车行进的距离（X）， 该三角形的顶点(h)即为该车的最大速度(Vm)。据此，绘出 v-t图如下：
判断此题，切不可凭感觉用事。从题中所给的条件可知， 两球质量相等，所处高度也相等，由此可直接得出的第一个推论是：两球的重力势能相等。而既然两球的重力势能相等， 那么，按照机械能守恒定律，两球在滑到底部时，所做功相 等，各自的动能也相等。于两球质量相同，所以，可以得到 的第二个推论是：两球在滑动到底部时的末速度(Vt)也就相 等。另外，既然AB+BC=DE，所以，两球在下滑过程中的位移 相同。当然，两球都是从静止状态释放的，所以，各自的初 速度均为Vo=0。明确了以上几点，就可以画出两球运动的如 下v-t 图像：
此v-t 图像根据题意（大致）表明，一开始（即AB段时）， a球的加速度（即直线斜率）大于b，但到后来（即BC 段时）， 其加速度（直线斜率）小于b；
同时，既然根据题意，AB+BC=DE， 那么，图像oat1 所围的面积要和obt2 所围的面积相等。从 满足这两个条件的v-t 图像中不难直观看出，a 球下降所用 的时间（t1）必然要比b 球所用的时间（t2）短，故，答案 为A，a 球先到。

三、运用v-t 图像判断运动方式 例3.由甲地从静止出发，沿平直公路驶向乙地的一辆汽 车，先以加速度a1 做匀加速运动，最后以加速度a2 做匀减 速运动，中间可能有一段匀速运动过程，也可能没有匀速运 动过程，到乙地恰好停下。已知甲、乙两地相距为s。试问：
要使汽车从甲地到乙地所用的时间最短，汽车应做怎样的运 动？ 此题提供的信息要点有二：1．不论汽车采用什么样的运动方式，甲乙两地的距离是个定值，即汽车的位移为S；
2． 汽车的初速度和末速度均为0，而且不论采用什么运动方式， 其最初和最后两段距离的运动方式均有加速度，只不过最初 为匀加速（a1），最后为匀减速(a2)，两者也不变。因此， 可以直接按照满足此条件的如下v-t 图像对各种运动方式进 行比较，看哪一种运动方式所用时间最短。时间最短者即为 应当采用的运动方式。

如图4 所示，设OABC 所围成的图像表示甲乙两地的距 离S，根据题意，不论是采用先加速接着马上减速的运动方 式（如OA1 线段与A1C1 线段所示运动轨迹），还是先加速， 然后匀速，接着再减速的运动方式（如OA2、A2B2 与B2C2线 段所示运动轨迹），△OA1C1 的面积、梯形OA2B2C2 的面积， 必须与梯形OABC 的面积相等，而且，既然各种运动方式最 初的加速度（a1）和最后的加速度(a2)均保持不变，这就意 味着A1C1 线段、B2C2 线段均与BC 线段保持平衡（斜率不 变）。由此可以直观的看出，采用“先加速接着马上减速” 的运动方式所用时间（t1）比先“加速然后匀速接着再减速” 的运动方式所用时间（t2）要短，应当采用前者。

四、借助v-t 图像计算上升高度 例4. 一质量为m = 40kg的小孩在电梯内的体重计上， 电梯从t=0 时刻由静止开始上升，在0 到6s 内，体重计示 数F 的变化如图5 所示。

试问：在这段时间内电梯上升的高度是多少？取重力加速度g=10m/s2。

解答此题，首先应当明确的是，小孩的重力mg=40 10=400N；
当其乘坐电梯上升时，如果电梯的上升是匀速的， 体重计的示数就保持不变，应为400N。但当电梯加速时，由 于超重，体重计的示数会显示高于400N，相反，当减速时， 体重计的示数则会显示低于400N，而且，只要是进行匀加速 或匀减速，该增加或减少的数值也会保持恒定。据此观察体 重计示数F 的变化图可知，第一，在最初的2s 内，电梯是 由静止开始进行匀加速上升的（示数计读数高于400N 而且 恒定）；
第二，在随后的第2 至第5s 内，电梯是匀速上升 的（示数读数等于400N）；
第三，在最后1s内（第6 秒内）， 电梯开始进行匀减速（上升）直到停止（即电梯上升的最高 点）。

问题是，电梯及小孩上升的加速度(a1)、匀速上升的速 度（vt）以及匀减速时的加速度（a2）究竟是多少呢？根据 牛顿第二定律，F 合=ma1，即，440-400=40 a1，由此得知， 电梯匀加速上升的加速度a1=1m/s2。同理，电梯匀减速上升 时，320-400=40 a2，故，匀减速上升时的加速度a2= -2m/s2。

根据Vt=Vo+at 可知，在电梯上升的第2 至第5s内，其匀速 上升的速度（即第2s末的速度）Vt=0+(1 2)=2m/s。

将上述结论转换为电梯及小孩的v-t 运动图像，则有下 图6：
五、小结综上可见，用v-t 图像求解运动学模块的有关问题，有 时可以简化解题的过程，化繁为简，具有直观、形象、简明 的特点。其实质是把复杂的物理量之间的代数关系转化为几 何关系，核心是通过速度图线与时间t 轴围成的面积来加以 比较、计算或分析。因此，运用这一方法，首先应当认真审 题，切不可遗漏条件。除了要注意把握题目明确给定的条件 （如时间、质量、位移、长度，初速度、末速度状态）外， 还要仔细发掘题目中隐含的问题。比如，例4 中的加速度a1、 a2 及匀速上升的速度，例2 中a、b 两球的末速度等。其次， 在将物理量转化为V-t 图像时，必须时刻牢记，该图像围成 的几何面积实际上表示的只是运动学上的位移或者距离，必 须对几何学中的基本公式、定理（如三角形的面积、梯形的 面积公式计算等）熟烂于胸。再次，在v-t 图转化中，尤其 要注意速度线段的曲与直、倾斜度、等高线、起始点。只有 匀速或匀加速运动才能转化为直线，只有在具有加速度的运 动中，该直线才有斜率，而且加速度越大，斜率越大。而v-t 图像中的等高线，则意味着速度相等，当然，速度线段与t 轴 相交的地方，也意味着速度相等（0）。最后，v-t 图像的 运用和物理学的相关内容紧密相关，如果物理学的基础不扎 实，就势必严重影响到v-t 图像法在运动学问题上的科学运 用。比如，如果对动能定理、机械能守恒定理认识模糊，就 不可能对例2 问题进行v-t 图的准确转化；
如果对牛顿第二 定律没有真正领会，就不可能对例4 问题的加速度用精准的斜线进行表示。