【浅谈抛物线的变式教学】抛物线教学

浅谈抛物线的变式教学

数学变式教学的基本思想是：运用不同的知识和方法， 借鉴科学家发明创造的思想方法和数学问题的编拟手法，对 有关概念、定理、公式及课本上的习题进行不同角度、不同 层次、不同情形、不同背景的变化。

一、数学概念变式 数学概念的形成过程和内涵、外延的揭示过程，比数学 概念的定义本身更重要，在形成概念的过程中，可以利用变 式引导学生积极参与形成概念的全过程，让学生自己去“发 现”，去“创造”，通过多样化的变式，培养学生观察、分 析以及概括的能力。

根据建立直角坐标系的一股原则，学生对抛物线建立坐 标系有以下三种可能：
设F到准线1距离为P(y，o)，分别推导出的抛物线方程 为图l 中的抛物线斱程是：
图2 中的抛物线斱程是 图3中的抛物线方程是：
学生马上可以确认方程③为标准方程，因为这时方程形 式最简，这样不仅学生学会，而且使学生会学。

二、条件变式 变式1：过抛物线焦点的直线交抛物线于点A、B，过A、 B分别作：轴的垂线，垂足分别为M1、M2，求证：|0M1| 、 |0F| 、 |0M2|：成等比数列。

变式2：边抛物线的焦点弦的两端点作准线的垂线，两 垂足与焦点的连线互相垂直。

变式3：以抛物线的焦点弦在准线上的射影为直径的圆 必过焦点。

变式4：抛物线的焦点弦在准线上的射影线段的中点与 焦点的连线垂直于焦点弦。

变式5：抛物线的焦点弦与以它在准线上的射影为直径 的圆相切于焦点。

变式6：抛物线焦点弦的中点到准线的距离等于焦点弦 长的一半。

变式7：过抛物线焦点弦的中点作准线的垂线，垂足与 焦点弦两端的连线互相垂直。

变式8：过抛物线焦点弦的中点作准线的垂线，垂足必在以焦点弦为直径的圆上。

变式9：以抛物线焦点弦为直径的圆必与节线相切。

变式10:以椭圆的焦点弦为直径的圆必以相应准线相 离；
以双曲线焦点弦为直径的圆必与相应准线相交。

三、结论变式 变式1：在抛物线y2=2px中，过焦点F的直线交抛物于点 A(x1，y1)，B(x2，y2) 变式2：过抛物线y2=2px的焦点的一条直线和抛物线相 交，两个变点的纵坐标分别少y1，y1求证：y1y2= -P2 变式3：在抛物线y2=2px中，过焦点且斜率为K的直线交 抛物线于点A(x：，v，)，B(x2，y2) 四、推广变式 变式1：设从(a,o)是抛物线y2=2px(p>o的对称轴上的一 个定点，过M的直线交抛物线于A、B两点，设A( X1，yl)， B(x2,y2) 求证：y1y2和x1x2均为定值。

变式2：抛物线y2=2px上两动点A(x1，y1)，B(x2y2）满 足y1y2=k (k 为常数)，则直线AB 恒过定点 变式3：设抛物线y2=2px(p>O)上两动点A（x1，y1），B （x2，y2）满足y1y2=k(k 为常数)，则线段AB 的中点M的轨 迹方程为：
变式4：抛物线的焦点弢对抛物线的顶点所张角被对称 轴分成α和β两部分，则tanαtanβ=4变式5：过抛物线y2=2px(p>O)对称轴上一定点M(a， O)(a>0)的直线1 与抛物线交于点A、B 两点，则AB 对顶点 的张角被对称轴所分的两部分的『E 切值之积为定值 变式6：过抛物线y2=2px(p>O)对称轴上一定点M(a， 0)(a>O)的直线1 与抛物线交于点A、B 两点，则A、B 两点 与原点连线的斜率之积为定值积为定值 变式7：过抛物线y2=2px(p>O)对称轴上一定点M(2P，0) 的弢AB 对顶点的张角是直角。

变式8：过抛物线顶点的互相垂直的另两端点的连线必 过一定点。

有意识地引导学生从“变”的现象中发现“不变”的本 质，从“不变”中探求规律，逐步培养学生灵活多变的思维 品质，增强应变能力，激发学习数学的积极性和主动性，提 高数学素质，培养探索精神和创新意识，从而真正把能力的 培养落到实处。

参考文献：
[1]徐新民，主体参与．创新 高中数学教与学。

[2]刘长春、张文娣主编 中学数学变教学与能力培养 山东教育出版社