【基于核心概念的高中数学欣赏教学三探以《欣赏对数》为例谈数学欣赏的素材选择】 高中数学核心

基于核心概念的高中数学欣赏教学三探以《欣赏对数》为例谈数学欣赏的素材选择

在数学教育领域谈“数学欣赏”，在我国已有几十年的 历史，既谈感受诸如黄金分割、蜂房结构等的数学外观美， 也谈领悟诸如统一、和谐、简洁、奇异等的数学内在美，但 是这些大多与高等数学紧密联系，且更多停留在数学美的层 面。近些年来，张奠宙先生大力倡导在中学数学教学中进行 “数学欣赏”，通过挖掘中学数学教材中隐含的数学文化点， 为促进中学生理解数学做出系统的示例。在张先生“数学欣 赏”观点的指引下，笔者尝试开设高中“数学欣赏”校本选 修课（放在高二第二学期），选取高中数学教材中体现重要 思想方法的数学概念（如对数、向量、无限、距离、角、有 向等），以点带面地梳理高中数学的主干内容，揭示数学概 念的内在本质、数学知识的应用价值以及数学思想体系的深 远意义。

众所周知，在有限的课程容量与资源的限制下，校本课程的教学目标决定着课程内容和素材的取舍和选择。修订中 的普通高中数学课程标准着重提出要培养学生的数学核心 素养，将“三会”作为超越具体数学内容的教学目标，即：
会用数学的眼光观察世界，会用数学的思维分析世界，会用 数学的语言表达世界。笔者认为，数学核心素养的具体内容 是“数学欣赏”校本课程素材选择的立足点和出发点。

笔者曾经在《基于核心概念的高中“数学欣赏”教学初 探》一文中阐述了“数学欣赏”教学的基本内涵，在《基于 核心概念的高中“数学欣赏”教学再探》一文中阐述了“数 学欣赏”教学的结构层次。下面，以一节校本选修课《欣赏 对数》的内容设计为例，谈谈“数学欣赏”教学的素材选择。

一、在核心概念的产生和发展过程中，感悟数学的一般 性 数学抽象体现了“数学的眼光”，通过抽象可以得到数 学的研究对象，产生表示研究对象的概念、符号，并从概念、 符号出发来研究对象的性质、关系和规律等。直观想象与数 学抽象联系紧密，是数学抽象的重要补充。因此，数学抽象 和直观想象均是数学核心素养的构成要素。

16、17世纪之交，自然科学（特别是天文学）的研究中 经常遇到大量精密而庞大的数值计算，改进数字计算方法成 为当务之急。对数的发明“用缩短计算时间的方式延长了天 文学家的寿命”（法国数学家拉普拉斯语），因而成了“17 世纪数学的三大成就”（恩格斯语）之一（另两项分别为解析几何的发明和微积分的发明）。对数概念的产生和发展的 过程，可以让学生认识数学抽象的层次性，知道数学抽象使 得数学概念具有了一般性，更易于表达研究对象的内在关系 和规律。

【素材1】 对数发明过程中的关键事件 原创的思想苏格兰数学家纳皮尔（J.Napier，1550～ 1617）在天文学研究中，为了寻求球面三角计算的简便方法， 利用与质点运动有关的几何方法构造出对数。其核心思想表 现为算术数列与几何数列（即等差数列与等比数列）之间的 对应——由于该几何方法具有较强的技巧性，此处略去具体 内容。1614年，纳皮尔在《奇妙的对数定律说明书》中阐述 了对数原理。后人将其称为纳皮尔对数，记为Nap.log x。

它与我们现在熟知的自然对数的关系为Nap.log x=107ln(107/x)。

概念的完善英国数学家布里格斯（H.Briggs，1561～ 1630）感到纳皮尔对数用起来不方便，于是与纳皮尔商定， 使1的对数为0，10的对数为1，这样就得到了我们现在熟知 的常用对数。它在十进制的数值计算上具有极大的优越性。

1624年，布里格斯出版了《对数算术》，公布了以10为底、 包含1～20 000及90 000～100 000的14位常用对数表。

对数与指数现行高中数学教材是以指数的逆运算来定 义对数的——准确地说，是以乘方（底数的指数次方等于幂） 的求指数（相对于求底数）的逆运算来定义对数（相对于开方）的。事实上，纳皮尔讨论对数概念时尚无分数、无理数 指数幂的概念，直到1637年笛卡儿才开始用符号an表述正整 数指数幂，直到18世纪初牛顿才将幂ax中的指数x推广到任 意实数。后来，欧拉发现了指数与对数的互逆关系,并且用 指数的逆运算来定义对数。由于从逻辑上说指数概念更容易 为人们所理解，因而欧拉关于对数的这种见解流传至今。

从产生和发展的历史来看，很多数学概念都经历了漫长 的由“火热的思考”到“冰冷的美丽”的演变过程。从素材 1中不难发现，对数概念的萌芽（纳皮尔对数）、完善（常 用对数）、统一（指数的逆运算）正是数学概念由技巧到通 法、从特殊到一般不断抽象的完整过程。而教材中呈现的对 数概念（继小学的加、减、乘、除和初中的乘方、开方之后 的“第七则运算”）则是数学抽象的最终形态，是用严格形 式化代替非形式化、用逻辑整理历史的结果。欣赏核心概念， 自然要欣赏其“前世”和“今生”。

二、在围绕核心概念的推理和运算中，感悟数学的严谨 性 “数学的思维”主要指的是逻辑推理（包括归纳推理、 类比推理、演绎推理），即从一些事实或命题出发，依据一 定的规则推出其他命题的思维过程。数学运算属于逻辑推理 （是一种演绎推理），是最具数学特征的逻辑推理。因此， 逻辑推理与数学运算一起成为数学核心素养的构成要素。

对数发明时的原始思想是受等差数列与等比数列的对应关系的启发，试图将乘、除运算简化为加、减运算。在这 个基本思想的指引下，对数与指数这对互逆运算将数列、方 程、不等式等不同知识点在运算的视角下串联成具有内在逻 辑联系的整体。学生在运用对数和指数的运算律进行运算的 过程中，既能体会对数概念的基本思想，也能提升数学运算 能力，从而感悟数学“推算”使得数学结论具有了严谨性， 更加可靠、精确。

【素材2】 等差数列与等比数列的类比 例题若{an}是等差数列，m、n、p是互不相等的正整数， 则有正确的结论：(m－n)ap+(n－p)am+(p－m)an=0。类比上 述性质，相应地，若{bn}是等比数列，m、n、p是互不相等 的正整数，则有正确的结论：__________。

规律从概念的名称可知，研究数列的基本手段是运算：
由减（除）法运算发现“差（比）相等”，于是有“等差（比） 数列”。研究了等差（比）数列之后，可以从运算的角度类 比研究等比(差)数列：若{bn}为等差数列，则{abn}（常数 a>0）为等比数列；
若正项数列{bn}为等比数列，则{logabn} （常数a>0且a≠1）为等差数列。

解决（运用）(方法一)设an=logabn,则{an}是等差数列， 则(m-n)ap+(n-p)am+(p-m)an=0,代换得 (m-n)logabp+(n-p)logabm+(p-m)logabn=0,由对数运算律 得bm-np·bn-pm·bp-mn=1。

(方法二)不妨设bn=aan，则{an}是等差数列，则(m-n)ap+(n-p)am+(p-m)an=0，取指数得a(m－n)ap+(n－ p)am+(p－m)an=1，由指数运算律得aap(m-n)·aam(n-p)· aan(p-m)=1,代换得bm－np·bn－pm·bp－mn=1。

【素材3】 乘(除)法不等式向加(减)法不等式的转化 例题（2010年高考江苏卷第12题）设x、y为实数，满足 3≤xy2≤8,4≤x2/y≤9，则x3/y4的最大值是______。

规律由对数的运算性质可知，通过取对数的手段可以将 乘、除运算变成加、减运算（将乘方、开方运算变成乘、除 运算）。

解决（运用）（方法一）由题意知x、y为正实数，故条 件式等价于lg 3≤lg x+2lg y≤3lg 2,2lg 2≤2lg x－lg y ≤2lg 3，问题转化为求lgx3y4=3lg x－4lg y的最大值，这 样原问题就转化为一个线性规划问题。除了用线性规划中数 形结合的方法之外，还可以用待定系数法将目标函数转化为 lg x+2lg y、2lg x－lg y的线性组合，再用不等式加法的 同向不等式解决。

（方法二）如果洞悉了对数“化乘、除运算为加、减运 算”的本质，那么就无须将问题转化为线性规划问题，而可 以直接用待定系数法将x3/y4转化为xy2、x2/y的幂的积，再 用（正数）不等式乘法的同向不等式解决。

著名华人数学家项武义先生说过：“代数的根本在于数 的运算和运算律。”从素材2、3中不难发现，指数和对数运 算不仅是高中数学学习的基本任务，而且是串联高中代数内容的一条逻辑暗线。将这些内容融为一体进行教学设计，必 能帮助学生在关注知识与技能的同时，认真思考对数的本质 及其体现的数学思想。欣赏数学核心概念，自然要欣赏围绕 它的推理与运算。

三、在核心概念的实际运用中，感悟数学应用的广泛性 数学模型就是“数学的语言”，通过数学建模可以研究 对象的性质、关系和规律等。数据分析在大数据时代越来越 重要，正逐渐成为一种新的数学语言。所以，数学建模和数 据分析也成为数学核心素养的两个构成要素。

就增长速度而言，指数函数最快（指数爆炸）、幂函数 其次、对数函数最慢。如果增长太快，就要慢下来。对数的 这项功能在地震震级的表示、视力的测量（标准对数视力表） 等实际问题中都有广泛的应用。而对信息进行度量（量化） 则是对数概念在信息时代的新的重要贡献。

【素材4】 对数与信息量的定义 概念11948年，克劳德·香农创立了数学信息论，用 “log2”来刻画信息量的概念。比如，如何定义一个古代烽 火台传递的信息量呢？事实上，它传递两种信息：燃起烽火 意味着敌人来了（用1表示），不燃烽火则表示敌人没来（用 0表示）。在敌人来与不来可能性一样的前提下，一个烽火 台传递一个单位（比特）的信息量，数学上的表示就是 log22=1。如果东面、南面各设置了一个烽火台，这时的信 息状态有(0,0)、(0,1)、(1,0)、(1,1)四种情况，其中第一个、第二个坐标分别表示东面、南面敌人来否的状态。这样 四种状态传递的信息量为2比特，用数学符号表示就是 log24=2。于是，看不见、摸不着的信息就变得可以度量了。

概念2香农还天才地分析了信息量的大小和该信息发生 的概率有关，提出了信息熵的概念。例如，为博美人一笑， 有事无事天天燃烽火，那烽火台传递的信息量就小得多。

练习（作业）如果一条信息有n(n>1,n∈N)种可能的情 形（它们之间互不相容），且这些情形发生的概率分别为 p1,p2,…,pn(p1,p2,…pn∈(0,1)且p1+p2+…+pn=1)，则称 H=f(p1)+f(p2)+…+f(pn)（其中f(x)=－xlogax,x∈(0,1)） 为该条信息的信息熵。已知f(1/2)=1/2。

（1）若某班共有32名学生，通过随机抽签的方式选一 名学生参加某项活动，试求“谁被选中”的信息熵的大小；

（2）若某次比赛共有n位选手（分别记为A1,A2,…,An） 参加，选手Ak(k=1,2,…,n－1)获得冠军的概率为2－k，求 “谁获得冠军”的信息熵H关于n的表达式。

在素材4中，既有西方现代数学中量化信息的建模，也 有中国传统文化中的“烽火戏诸侯”的典故（其实，这里也 可以提及“周易八卦”的内容），还有基于信息量、信息熵 概念编拟的应用题（可以作为课堂练习或课后作业）。促进 西方数学与中国文化的交流与整合，同时利用数学模型解决 实际问题，也是“数学欣赏”课程的一项重要议题。

总之，立足于数学核心素养选择“数学欣赏”课程的素材，可以分别从历史活动的视角阐述核心概念如何产生和发 展，从逻辑体系的视角围绕核心概念构建相关的知识网络， 从人文应用的视角介绍核心概念所体现的工具理性。也就是 说，从科学理性、历史人文两个方向入手，紧紧围绕核心概 念统整相关的素材，挖掘本源性问题，让学生经历完整的数 学思考过程，挖掘隐藏在核心概念背后的思想方法，发挥数 学内在的育人价值。

最后需要指出的是，“数学欣赏”课程不仅要开拓学生 的视野、激发学习的兴趣，而且要讲问题、讲联系、讲思想、 讲内涵，因此在素材的选择上，不应该回避高考应试，反而 要注重思维深度，使得学生在欣赏相关的素材之后，既能获 得感性的认识，受到文化的熏陶，又能收获具体的方法和技 巧，在今后思考相关的问题时高屋建瓴、事半功倍。当然， 数学核心素养的形成和发展本质上是学生自己“悟”出来的， 因此“数学欣赏”课程的教学需要灵活组织所选择的素材， 设计合适的学习活动，引导和启发学生独立思考、与人交流， 逐渐养成良好的思维习惯。而这又是一项有待于广大一线教 师摸索的新课题。

*本文系上海市青年教师教育教学研究课题“高中‘数 学欣赏’校本课程的开发研究”（编号：Y2015A13S122V2075） 的阶段性研究成果。参考文献：
［1］ 洪燕君等.《普通高中数学课程标准（修订稿）》 的意见征询——访谈张奠宙先生［J］.数学教育学报，2015 （3）. ［2］ 任念兵，汪健.基于核心概念的高中“数学欣赏” 教学初探——以校本选修课《欣赏“无限”》的内容设计为 例［J］.教育研究与评论（中学教育教学），2016（7）. ［3］ 任念兵.基于核心概念的高中“数学欣赏”教学 再探——以《欣赏向量》为例谈“数学欣赏”的结构层次［J］. 教育研究与评论（中学教育教学），2016（12）. ［4］ 史宁中等.关于高中数学教育中的数学核心素养 ［J］.课程·教材·教法，2017（4）. ［5］ 吴军.数学之美［M］.北京：人民邮电出版社， 2014.