中学数学解题思维方法 数学解题思维

中学数学解题思维方法

例2.解方程x2+3x+4xx2+3=5。预见：可设x2+3x=y，则 4xx2+3=4y原方程可化归为y+4y=5，整理得，y2-5y+4=0。这 就把问题构造成已知类型，可以根据我们已经掌握了的解决 这类问题的既定的方向求出。解得y1=1,y2=4。当y1=1时。

x2+3x=1去分母得方程x2-x+3=0，Δ<0，所以无解。当y2=4 时。去分母得方程x2-4x+3=0，所以x1=1,x2=3。经检验知， x1=1,x2=3都是原方程的根。当命题直接解决有困难时，可 以对命题进行分割变形，直至化归为某种已经解决的问题， 这就是化归思想，它是造型过程极重要的思想方法。例3.如 图，在矩形ABCD中，BD＝20，AD>AB，设∠ABD＝a，已知sina 是方程25x2-35x+12=0的一个实根，点E、F分别是BC、DC上 的点，EC＋CF＝8，设BE＝x，ΔAEF的面积为y。（1）求出y 与x的函数关系式；
（2）E、F两点在什么位置时，y有最小 值？求出这个最小值。预见：ΔAEF是任意三角形，很难用x 表示其面积y，可以化归为SΔAEF＝S□ABCD－SRtΔABE－ SRtΔADF－SRtΔECF解：（1）解方程得sinα1=35或sinα2=45，因为AD>AB，所以取sinα2=45，则有AD＝16，AB＝12， 设BE=x，则有EC=16-x，FC=8-EC=8-(16-x)=x-8， DF=12-FC=12-(x-8)=20-x，则ΔAEF的面积y＝16×12-12・ 12x-12・16(20-x)-12(16-x)(x-8)＝12x2-10x+96(8＜x＜ 16)（2）y＝12x2-10x+96=12(x-10)2+46，当x=10，即时BE=10， CF=2时，y有最小值46。

二、立法―――确立方法 这是解题思维的核心。人们研究问题、解决问题总要有 合理的方法。所谓立法是指明确解题方向之后，把要解决的 未知的问题分解为若干个已知的或熟悉其规律的部分，通过 分类探讨或数形结合的方法，明确解题途径，从而确立具体 的解题方法。当然，同样要求我们掌握好解决各类题型的既 定方法。例4.设m、n、p∈R+且m2+n2=p2求m+np的最大值。

特征：m2+n2=p2比较：与勾股定理相似，造型：利用勾股定 理，构造直角三角形，立法：边m、n、p用三角函数表示。

解：如图，m=p・sinα,n=p・cosα，所以m+np的最大值为2 姨。根据题设的已知条件，在坐标平面上画出它的图形，借 助图形的直观性，探求解题途径，制定解题方案，这就是数 形结合的方法。它是立法过程经常使用的一种重要手段。例 5.已知抛物线y=-12x2+(m+3)x-(m-1)（1）求抛物线的顶点 坐标（用m表示）（2）设抛物线与x轴的两个交点为A(x1,0)， B(x1,0)与y轴交点为C，若∠ABC=∠BAC，求m的值。（3）在 （2）的条件下，设Q为抛物线上的一点，它的横坐标为1，试问在抛物线上能否找到一点P，使PC⊥QC，若点P存在，求 出点P的坐标；
若点P不存在，请说出理由。解：（1）因为 -12x2+(m+3)x-(m-1)=-12[x-(m+3)]2+12(m2+4m+11)所以抛 物线的顶点坐标为�xm+3,m2+4m+112�y。（2）在ΔABC中， 因为∠ABC=∠BAC，所以BC=AC，所以点C在线段AB的垂直平 分线上，所以y轴为抛物线的对称轴，所以m＋3＝0，即m＝ －3。（3）在（2）的条件下，m＝－3，抛物线为y=-12x2+4。

若点P存在，设P（a，b），画图如下，要求P的坐标（a，b）， 过P作PM⊥y轴于M，过Q作QN⊥y轴于N，要求�弧�b就转化为 求｜PM｜,｜OM｜因为QC⊥PC，所以∠PCM+∠QCN=90°,从而 ∠PCM+∠QCN，所以RtΔCPM∽RtΔQCN，故CMPM=QNCN①要求 ｜OM｜、｜PM｜又化归为求①中的四条线段的长。将x＝0代 入y=-12x2+4，得y=4即C（0，4），将x＝1代入y=-12x2+4， 得y=72即Q�x1,72�y所以CM=OC+OM=4+｜b｜，PM=｜�唬�， QN=1,即CN=OC-ON=4-72=12代入①式得，4+｜b｜｜�唬 �=112,｜b｜=2｜�唬�-4，因为�唬�0，b＜0，所以 -b=-2��-4，即b=-2��+4，所以P(��,2��+4)。将 P(��,2��+4)代入y=-12x2+4，整理得��2+4��=0，因 为�弧�0，所以�唬�-4，b=2(-4)+4=-4，所以点P（-4， -4）为所求。

三、定案―――制定方案 这是解题思维的归宿。人们研究问题，解决问题总要有 一个规范的程序。所谓定案，是指确定解决方法之后，通过充实完善，把分析问题时所求到的可望有用的因素，添加到 问题的构造中去，使问题更加丰富完整，通过部署策划，制 订出一个最佳的解题方案，用数学语言，一步一步合理地、 严格地表达出来。当然，同样要求我们掌握好解决各类题型 的既定步骤。解题方案欠佳，可能导致运算重复而走弯路， 或因运算杂乱而出差错。例6.已知关于x的方程x2-2姨 mx+m=0的两个不相等实数根恰好是一个直角三角形两个锐 角的余弦，求m的值。（1）审题：因方程x2-2姨mx+m=0有两 个不相等的实数根，故挖出第一个隐含条件：其判别式Δ＝ (-2姨m)2-4m=2m2-4m＞0①设直角三角形的两个锐角为α、 β，则cosα,cosβ为原方程的两个实数根，根据根与系数 关系，得第二个隐含条件：cosα+cosβ=2姨m②cosα・cos β=m③因为α、β是直角三角形的两个锐角，所以α、β互 余，得第三个隐含条件cosβ=sinα：④（2）造型：把④代 入②、③得sinα+cosα=2姨m・・・・・・⑤sinα・cosα =m・・・・・・⑥把⑤两边平方得，sin2α+cos2α+2sinα・ cosα=2m2⑦（3）立法：因为sin2α+cos2α=1,sinα+cos α=m，代入⑦式得含m的二次方程2m2-2m-1=0（由此方程可 求的得m的值）。（4）定案：解得m1=1+3姨2，m2=1+3姨2。

当时m1=1+3姨2，Δ＝-3姨＞0，不满足①式，舍去。当时 m2=1+3姨2，Δ＝，满足①式，但是cosα・cosβ=m＞0，而 m2＜0，所以m不存在。

四、小结解题思维的过程，必须同时兼顾两个方面，一方面是已 知的各类题型的既定方向、既定方法、既定步骤；
另一方面 是根据具体的题设条件、构造类型，确定方法、制定方案。

审题时要挖掘隐含条件和剥去外表伪装，造型时注意化归思 想的运用，立法时注意数形结合的方法，定案时注意逻辑推 理的严密和书写的流畅整洁，则可望大功告成。