课堂教学的自我修正以两直线的交点为例 直线交点公式

课堂教学的自我修正以两直线的交点为例

因此，任教于两个平行班级的教师如果能够自觉反思、 发现在前一个班级的教学过程中的不足之处，并在后一个班 级的教学过程中自我修正，作出调整、改进，则能有效地提 升自身教学质量和专业素养。

下面，以笔者领衔的名师工作室为研讨“课堂教学的自 我修正”而开设的两节课为例，谈谈课堂教学自我修正的过 程及感悟。这两节课由笔者先后执教本校高二年级的1班和2 班，教学内容都是苏教版高中数学教材必修2中的“两直线 的交点”。

一、对课堂引入的修正 第一次教学—— 师同学们，直线l1：y=k1x+b1与直线l2：y=k2x+b2的位 置关系如何？生若k1≠k2，则两直线相交；
若k1=k2且b1≠b2，则两 直线平行；
若k1=k2且b1＝b2，则两直线重合。

师很好！这种判断方法充分体现了解析法的本质—— 用代数方法解决几何问题。除此之外，还有什么方法可以判 断两直线的位置关系呢？ ［教师期待学生发现，可以通过研究两直线方程构成的 方程组的解的组数进行判断，但是经过独立思考、讨论交流， 只有极少数学生（有的还是预习过的）考虑到了可以利用这 种方法进行判断，于是教师只能告诉大家这种判断的方法。］ 第二次教学—— 请大家在同一直角坐标系中画出下列两个函数图像：
y=2x+1，y=3x-1，并观察它们的位置关系。

生（画图观察后）相交。

师你们是如何确定它们相交的？ 生可以求得这两条直线的交点坐标为（2, 5），因为只 有一个交点，所以它们一定相交。

师那你们是如何求出它们的交点坐标的？ 生解两直线方程构成的方程组，即得它们的交点坐标。

师如果两直线方程分别是y=3x+1和y=3x-1，即它们构成 的方程组将无解，又作何说明？ 生说明这两条直线平行。

师好的。那么判断两条给定方程的直线的位置关系，除 了我们已经研究过的利用方程中参数的特征以外，还有其他方法吗？ 生还可以研究两直线方程构成的方程组解的个数，即两 直线交点的个数。

课堂的引入应该具备激发思考、引发探究、有利于发现 的功能。第一次教学中的问题“还有什么方法可以判断两直 线的位置关系”过于开放，使得学生无法确定思考的方向， 因而缺乏引导、激发的功能。自我修正后，第二次教学中， 教师从学生熟悉的实例出发，通过对问题的巧妙变形、设问， 使得学生自觉地运用从特殊到一般的思维方式，归纳概括得 出了求两直线交点的方法和判断两直线位置关系的新策略， 经历了由感性认识到理性思考的知识建构过程，培养了探究 与发现的能力。

二、对方法实质一致性说明的修正 第一次教学—— 师通过以上研究，我们获得了两种判断直线位置关系的 方法，它们都是运用代数方法研究几何问题，这两种方法的 实质是一致的。下面请看例题。

…… 第二次教学—— 师我们现在有了两种判断直线位置关系的方法，分别是 研究两直线方程中系数的关系和求出方程组解的个数，均体 现了运用代数方法研究几何问题的基本思想。这两种方法之 间有关系吗？［师生共同研究：设l1：A1x+B1y+C1=0，l2：
A2x+B2y+C2=0，联立得方程组，消元得 (A1B2-A2B1)x=B1C2-B2C1，该方程无解、一解、无数解（对 应原方程组无解、一解、无数解）时两直线平行、相交、重 合，其满足的条件恰好与直接用直线方程中的系数确定位置 关系的条件一致，由此可见，这两种代数方法的实质是相同 的。］ 教学，尤其是数学教学，需要“讲理”，不能把知识强 制“塞”给学生。第一次教学中，教师“霸权”地告诉学生 这两种方法的实质是一致的。对此多数学生会一头雾水：为 何实质是一致的？部分学生出于面子考虑和从众心理，会带 着朦胧感点头称是，但是心存的疑惑并没有真正消除。自我 修正后，第二次教学中，师生共同研究，由二元一次方程组 解的个数与系数的关系，获得了方法一致性的结论。学生亲 历验证的过程，既增强了符号化的意识，也感受了数学的和 谐美，更培养了实事求是的科学精神。

三、对解题方法生成的修正 两次教学中教师都出示了如下问题：设直线l过坐标原 点，且经过两直线l1：2x+3y+8=0和l2：x-y-1=0的交点，求 直线l的方程。学生都展示如下解法：先求出两直线的交点 坐标(-1,-2)，再由直线l过坐标原点易得其方程为2x-y=0。

第一次教学—— 师同学们还有不同的想法吗?（学生冥思苦想，没能想出其他更好的方法。） 师我给大家介绍一种更为巧妙的方法——利用两直线 的交点系方程求解。

（教师介绍方法。） 师请同学们研究教材P95的思考题：已知直线l1：
2x+3y+8=0和l2：x-y-1=0，则方程(2x+3y+8)+m(x-y-1)=0(m 为任意实数)表示的直线有什么特点? 生（异口同声）经过两直线l1、l2的交点。

第二次教学—— 师这种解法思路自然，只是运算略显烦琐。是否还有更 为简便的方法呢?（稍停）请同学们研究教材P95的思考题：
已知直线l1：2x+3y+8=0和l2：x-y-1=0，则方程 (2x+3y+8)+m(x-y-1)=0(m为任意实数)表示的直线有什么特 点? （学生思考并讨论。） 生方程表示的直线经过直线l1、l2的交点。

师有何启发? 生之前的问题有了新的解法：设所求直线方程为 (2x+3y+8)+m(x-y-1)=0，根据直线过原点可以求得m=8，从 而直线的方程为2x-y=0。这个解法比原来的解法简单了许多。

师棒极了！这种方法无需求两直线交点，使得求解过程 更为简捷。能够确定经过两直线交点的直线方程均可这样设 定吗?（师生对一般情形下经过两直线交点的直线系进行探 究。） 教学不是告诉，也不是阐明，而是在教师主导下的师生 共同探究的过程。教师的主导策略和艺术对学生能力的培养 起着重要作用。第一次教学中，教师希望有个别“神童”级 的学生能够“代言”用交点系解题的方法，以表明是学生的 自主发现，但是最终未能如愿，只能自己“告诉”学生。这 里，教师的“导”实则是“灌”，同时也使得教材中思考题 的思维含量丧失殆尽。自我修正后，第二次教学中。教师对 教材进行合理的整合，先对教材中的思考题进行研究，让学 生自我感悟并发现用交点系解题的方法。这里，教师的“导” 是合理的“引”，充分地激发了学生的主动学习潜能，有效 地提升了学生的迁移能力和应用意识。

四、对问题变式处理的修正 两次教学中教师都出示了如下问题变式：设直线l过坐 标原点，且分别与直线l1：2x+3y+8=0和l2：x-y-1=0交于点 A、B，若线段AB的中点恰好为原点，求直线l的方程。

第一次教学—— 教师请四位同学板演，得到两种不同的解法：（1）先 证明直线l的斜率一定存在，故而可以设直线l的方程为y=kx， 解方程组分别求得点A、B的横坐标xA=－82+3k，xB=11－k， 由AB中点为坐标原点可得xA+xB=0，由此可得k=611，从而所 求直线l的方程为y=611x。（2）由点A、B分别在直线l1、l2上，可设点Aa,－2a+83、B(b,b－1)，由AB的中点为坐标原 点可得关于a、b的二元一次方程组，由此可以求得b=－a=115, 从而可得直线l的方程为y=611x。

然后，教师对四位学生的解题过程逐一评析，对其中的 不完善之处作了修改，并对两种解法的优劣作了比较：这两 种方法都充分体现了方程思想的应用，第一种方法思路自然 但运算较繁，第二种方法则更为简捷。

第二次教学—— 师同学们，我感觉这道变式题表述得有点啰嗦，大家能 否把它修改得更为简洁? (学生兴致高涨。) 生可以把条件“直线l过坐标原点”去掉，修改为：设 直线l分别与直线l1：2x+3y+8=0和l2：x-y-1=0交于点A、B， 若线段AB的中点为原点，求直线l的方程。

师真好！这样的表述比原来更为简洁，大家读题时有什 么不同的感觉吗？ 生没有原来直白了，“直线l过坐标原点”需要通过分 析才能发现。

师非常棒，很有见地！这就是所谓的挖掘“隐含条件”， 也是我们审题过程中需要着力培养的能力。下面请同学们独 立完成这道变式题。

（四位同学板演，所得解法同第一次教学。） 师请大家对照自己的解法，对这四位同学的解答过程进行评析。

（多位学生主动来到讲台前，用红笔打钩或进行修改、 补充，尤其对解法一中l斜率的说明进行了多次修改。最后， 教师对学生的解题方法和评析作了肯定的评价。） 师解法一应该是多数同学最为自然的想法，那么你们为 何还能想到解法二？ 生解法一虽然自然，但是运算量较大，于是我就考虑是 否有更为简便的方法。对照条件，要求经过一个定点的直线 方程，除了可以求其斜率，还可以考虑求出直线上另一个点， 所以我就尝试求点Ａ或Ｂ了。

师太棒了！在获得一种求解的思路后，进一步思考是否 有更为简单的思路，这种求简的意识和选择的习惯难能可贵。

这两种方法虽然繁简程度有所不同，但是蕴含了一个共同的 数学思想——方程的思想，这也是我们探求曲线方程的常用 数学思想。

例题教学不是展示教师的解题技巧，也不是“秀”个别 学生的解题方法；
在巩固知识、训练技能的同时，培养良好 的解题习惯，感悟蕴含的数学思想，提升学生的综合能力， 才是其最终目的。审题是解题的关键程序。第二次教学中， 教师让学生主动修改题面，以此促进学生深入剖析题意，不 失为指导学生审题的又一良策。例题教学要展示解法，更要 暴露思维过程。第一次教学主要关注学生“怎么解”，而第 二次教学还关注学生“为何这样解”，更加有益于提升学生的解题能力，强化学生的求简意识，培养学生的选择习惯。

课堂上的交流互动不应只是师生互动，还应注重生生互动。

第一次教学中，教师对学生的板演进行评析、修改，这是我 们经常采用的教学手段，但是缺少了学生自己的分析、评判 过程，使得学生缺乏主动性、参与性，也使得板演中所出现 的错误的作用大打折扣；
而第二次教学中，教师让学生去思 考、评价，这才是更高层次的学生主体性的体现，更加有益 于学生能力的提升。

五、对课堂小结的修正 第一次教学—— 师同学们，这一课我们学习了…… （教师从知识、方法、思想等方面对本节课作了简要的 概括总结。） 第二次教学—— 师同学们，请大家盘点一下：本节课你在知识、技能、 意识等方面有哪些收获? （教师先让学生思考，概括总结并互相交流，最后自己 作总结发言。） 课堂小结是对一节课的总结、延伸，有利于学生进行深 层次的建构，是提升学生学习能力不可或缺的重要过程。第 一次教学中，教师对本节课作了陈述性描述，使得学生成为 被动收听者，没有自主思考过程，参与度不高，不能形成更 深刻的认识。自我修正后，第二次教学中，教师通过明确的引导，将这一过程交由学生完成，让他们自我盘点、思考， 使知识方法、数学思想等得以强化，更增强了学生反思的习 惯和意识，培养了思维的概括性。

上述自我修正的示范可以说明，“在教学中我们能学会 教学”，而“简单的事情重复做，你将成为专家”——这里 的“重复”不是一成不变的完全拷贝，而是思考、加工、调 整后的重新显现。教师教学质量和专业素养的提升离不开专 家引领、学习进修等“外力”作用，但是更多地需要在每天 的常态教学工作中勤于思考、自我修正的“内力”作用。我 们应该在常态教学中增强研究意识，在重视课前准备和课后 反思的同时注重课中的思考，并通过课堂实践，在教材的利 用、教学方法的实施、教学环节的处理等方面作出及时、有 效的修正，使得我们的教学更有益于学生素养的提升，促进 学生全面、持续、和谐发展，同时使自己的专业素养获得新 的增长。

[www. DyLW.net/yuwen/提供论文代写和代写论文服务] 参考文献：
［1］ 章建跃，王嵘.中国数学教科书使用变式素材的 途径和方法（续一）［J］.数学通报，2015（11）.