基于GumowskiMira公式的分形图实现算法的解决_分型公式

基于GumowskiMira公式的分形图实现算法的解决

大约100年前，分形的思想已经开始出现在数学领域。但是， 就像其他的一些革命性的思想一样，分形的研究受到主流学 术的谴责，被人们认为只是研究一些数学中的怪异现象。那 时候著名的数学家Charles Hermit把分形称为“怪物”，这 代表了绝大多数人的观点。

IBM公司的数学家Benoit B. Mandelbrot认真地研究了 分形与自然的关系，他向人们展示了分形广泛地存在于身边， 一些现象都能够用分形来进行准确的描述，他和他的同事们 用分形来描述树和山等复杂事物。他还扩展了维数的概念， 开创性地提出了分数维的概念，并创造了“fractal”一词。

“fractal”就是人们所说的“分形”，也叫“分维”，台 湾的学者则称之为“碎形”。为了褒奖Mandelbrot的突出贡 献，人们把他称为“分形之父”[1]。分形的概念 Mandelbrot在解释“分形”一词时说：“我 由拉丁语形容词fractus创造了‘分形’（fractal）一词。

相应的拉丁语动词fragere意味着‘打破’和产生不规则的 碎块。从而可见，除了‘破碎的’（如像碎片或曲折），fractus 也应当具‘不规则’的含义，这两个含义都被保存在碎片 （fragment）中。”[2]有许多数学结构是分形，如谢尔宾 斯基三角形、科切雪花、皮亚诺曲线、曼德勃罗集、洛仑兹 吸引子等。分形同样可以描述许多真实世界的对象，如云彩、 山脉、湍流和海岸线等，当然它们不是单纯的分形形状。

Mandelbrot曾给出了一个分形的数学定义：一个几何对 象，它的豪斯道夫维数严格大于其拓扑维数。这不仅有些抽 象，而且也不是一个令人满意的定义，因为还有好多分形没 有被该定义涵盖。后来他又给出一个比较通俗的定义：部分 与整体以某种形式相似的图形。该定义仍然不能表达分形的 全部意思，但会使很多初学者开始理解分形了，虽然还不能 全部理解。

分形的几何特征 分形是破碎的、不规则的，其几何性 质十分丰富，可以说，到目前为止它的几何性质还没有完全 被挖掘出来。这里只将分形最常见的一些性质描述给大家：
1）分形是破碎的，局部不能可微的不规则图形；
2）分形一 般是自相似的，或是统计自相似的；
3）分形有时也是自仿 射的；
4）分形的维数一般是分数的，但也有整数维数的分 形；
5）分形图形具有精细结构，即无论局部放大多少倍数，仍然具有复杂的结构。

3 典型分形图形 图3.1是比较典型的分形图形，它们都具有自相似特性， 但并不严格自相似，所以用“具有自相似”特性来定义分形 已经有许多局限了，在人们的知识中应该继续扩展分形的含 义。

通过前面的介绍已经知道：分形最明显的特征是自相似 性，其他的特征包括无限复杂、无限细致等。分形图形图3.1， 它表现出自相似的特性。这里的自相似性体现在：每一个图 都是由它的更小版本组成，而整个图形并没有重复。也就是 说，这时自相似的实质应该是某一个部分在其他地方重复出 现。

图3.2是真实拍摄的一张蕨类植物的图片，它也具有自 相似特性。在这棵蕨类植物中，枝杈是整个植物的小版本， 而枝杈的枝杈则是更小的版本。这种特性可以无限地持续下 去。但是，它并不像计算机生成的分形图形那样严格地自相 似，这大概是因为在成长过程中受到许多外界因素的影响。

正是因为分形具有的自相似特性，才使分形如此重要并且具 有实际应用意义。自然界中许多植物具有自相似特性。

图3.3的风景图片是说明分形的另一很好的例子，这张 美丽的图片是利用分形技术生成的。在生成自然真实的景物 中，分形具有独特的优势，因为分形可以很好地构建自然景 物的模型。其实，分形应用的领域很广，周围到处有分形应用的实例。如微生物中，菌落均呈现共同的形态特征：以母 细胞为中心的环状层次结构。为了抽取隆起部分，科学家已 经采用分形理论模型实现对菌落图像的纹理分割[3]。只要 注意观察，就会注意到分形的应用非常广泛。

4 分形与Gumowski-Mira公式 Newton分形 一个连续函数f（x），如果取其Taylor展 开前两项作为它的近似，则有：
f（x）≈f（x0）+f′（x0）（x-x0） 令f（x）=0，则函数f（x）的零点x可表示为：
X≈x0-f（x0）/f′（x0） 于是有了求f（x）=0方程根的Newton迭代法：
X（n+1）=X（n）-f（X（n）/f′（X（n））（n=0，1， 2…）（4.1） 当n趋向于无穷大，极限x（n）存在，则序列{X（n）} 平方收敛到f（x）的零点。

把复数Z运用到（4.1）式上，得到如下公式：
Zn+1=Zn-f（Zn）/f′（Zn）（n=0，1，2…） 并运用逃逸时间法就画得一幅Newton分形图。

Gumowski-Mira公式 Gumowski-Mira公式作为下面的迭 代法出现：
X（n+1）=b*Y（n）+f（x（n）） Y（n+1）=f（X（n+1））-X（n） （4.2） 式中b用于控制轨道是膨胀还是收缩，如果b稍大于1，比如1.004，则轨道就会膨胀；
反之若稍小于1，比如0.998， 轨道就会收缩。在对下面这些函数作图时，大多数用的是 1.005，一个经典的函数是：
f（x）=aX+2（1-a）X2/（1+X2） 下面这些函数是常用的：
f（x）=aX+2signx（1-a）x2/（1+x2） f（x）=sign（x*a*X）+（1-a）x2/（1+x2）+sinx f（x）=-0.05aX+a（∏-ax）x2/（1+x2） 式中sign= Mira公式算法 Mira公式算法[4]（w代表函数，random 是随机数，0 初值：
a=random-0.5 b=1.005 w=1 x=0.0004 y=0.0004 计算轨道，在迭代100到20000次间，每次都画（x，y） 点，当然也可加进颜色：
z=x x=（b*y）+w w=f（x）（如上所列的某一个。） y=w-z Plot（x，y）5 基于Gumowski-Mira公式的分形图生成 下面是根据Gumowski-Mira公式在VC环境下编写的部分 程序代码 [5-8]：
void CMyView：：OnDraw（CDC* pDC） { CMyDoc* pDoc = GetDocument（）；

ASSERT_VALID（pDoc）；

int n；
a=0.001，b=0.99，f；

//设置a、b的初始值 float mx，my；

//程序 x=-15；

y=-15；

for（n=1；
n<=1000000；
n++） //设置循环的次数，即 点 的个数 { mx = b*y + a*x + （1-a）*2*x*x/（1+x*x）；

my = -x + a*mx + （1-a）*2*mx*mx/（1+mx*mx）；

x=mx；

//根据公式重新赋予x值 y=my；

// 根据公式重新赋予y值 pDC->SetPixel（x*30+280，300-y*30，RGB（255，0， 0））；

//画点函数 } }6 Gumowski-Mira公式参数的意义 主要通过对不同参数值的设置所对应的图形的不同来 研究各个参数（即参数n，b，a）的物理意义。

通过图6.1、图6.2的对比可以看到参数n决定着图像的 清晰程度，因为参数n代表着循环的次数，即点的个数，所 以n的值越大图像越清晰。

通过图6.3、图6.4和图6.5的对比可以看出，参数b是一 个非常敏感的常数，通常非常接近于1.0。如果b有一个轻微 增长，比如由0.99增大到0.999，轨迹会膨胀，或者螺旋向 外至无限。如果b有一个轻微的减小，比如0.985，那么轨迹 会收缩至奇异吸引子。

通过图6.6、图6.7、图6.8、图6.9可以看出，其实参数 a也是一个很敏感的参数，a对图形的舒展有很大影响，随着 a值的增大，图形周围的类似于翅膀的东西就会迅速收敛。

通过图6.10和图6.11可以看出，随着y乘的倍数缩小， 图形会在纵轴即y轴方向变扁，也就是说这个系数控制着y轴 方向舒展的程度。

通过图6.10、图6.12和图6.13可以看出，随着y轴偏移 量的增大，图形会往下面移动，说明坐标y会随着偏移量的 增大而增大，所以偏移量增大，图形会往下移动。

通过图6.10、图6.14和图6.15对比可以看出，随着x所 乘倍数的变大，图形就会在x方向舒展；
相反，图形就会在x 方向上收敛。通过图6.16、图6.17和图6.18可以看出，随着x坐标偏 移量的增大，图形就会右移，即坐标x会随着偏移量的增大 右移。

7 总结 分别通过调用函数“pDC->SetPixel（x*30+280， 300-y*30，n）”（n为颜色值），对n分别设置为RGB（255， 0，0）、 RGB（0，0，255）、RGB（0，255，0），分别得到红色、 蓝色、绿色的图像。

通过上面的研究可以看出，各个参数具有敏感特性，因 此通过对参数的多次改变，研究图形的变化，从而研究各个 参数的物理意义，以及函数中各个值的变化对整个图形的影 响，从而研究总结原因。

参考文献 [1]金以文，鲁世杰.分行几何原理及其应用[M].杭州：
浙江大学出版社，1998. [2]Mandelbrot B B.大自然的分形几何[M].上海：上海 远东图书发行部，1998. [3]王永铭，等.分形模型用于菌落图象的纹理分割[J]. 天津大学学报，1997（6）. [4]李水根.分形[M].北京：高等教育出版社，2004. [5]《电脑编程技巧与维护》杂志社.Visual C/C++图形 图像与游戏编程典型实例解析[M].北京：中国水利水电出版社，2006. [6]勒济芳.Visual C++小波变换技术与工程实践[M].北 京：人民邮电出版社，2004. [7]陆宗骐.C/C++图象处理编程[M].北京：清华大学出 版社，2005. [8]张宏军，党留群，赵天巨.Visual C++ 6.0编程案例 精解[M].北京：电子工业出版社，2005.