【有序探寻,优化思维以《包装的学问》教学为例】 什么是有序思维

有序探寻 优化思维以《包装的学问》教学为例

这时有学生提出质疑，因为实际包装过程中会产生接头，所 用的包装纸的表面积会大于950平方厘米。经过讨论，师生 达成一致意见：为方便计算，所需包装纸的面积一律按长方 体的表面积计算，且根据同一长方体中各个面的面积大小， 将三个面依次命名为大面（20×15）、中面（20×5）、小 面（15×5）。

此处，教师有意识将解决生活中需要多少包装纸与长方 体的表面积联系起来，让学生意识到所用包装纸的实际面积 比糖果盒的表面积大，在接口处不计的前提下，包装纸的面积就是糖果盒的表面积。这不仅为探寻怎样包装最节约包装 纸扫清了认知障碍，而且为后面交流包装方式（重叠了哪个 面）做了必要的铺垫。

二、操作演算 通过以上铺垫，笔者引导学生继续思考：如果将这样的 两盒糖果包成一包（接口处不计），怎样包装才能节约包装 纸？学生运用学具，分组合作探究两盒糖果包成一包的包装 方法，发现共有三种方法：大面重叠；
中面重叠；
小面重叠。

笔者让学生猜想：哪种方法最节约包装纸呢？为什么？学生 指出大面重叠最节约包装纸，因为这种方法被遮住的面积最 大。如何验证这一猜想呢？学生想到了计算两盒叠放后长方 体的表面积，要么先求出每个新的长方体的长、宽、高，再 计算出它的表面积；
要么利用露在外面的面求出它的表面积， 比如大面重叠，露在外面的就有4个中面，4个小面和2个大 面，把这些面的面积加起来就是大面重叠后新的长方体的表 面积；
要么用两个长方体的表面积之和减去两个重叠面的面 积之和。计算过程中，学生发现第三种算法最简便，并列式 计算出大面重叠后新长方体的表面积是1300平方厘米（950 ×2－20×15×2）；
中面重叠是1700平方厘米（950×2－20 ×5×2）；
小面重叠是1750平方厘米（950×2－15×5×2）。

计算比较后，学生发现确实是大面重叠最节省包装纸。究其 原因，是因为大面重叠减去的面积多，剩下的面积少，而小 面重叠减去的面积少，剩下的面积多，所以大面重叠最节约包装纸。要知道怎样最节约包装纸，只要看重叠的面积。

面对三种包装策略，从节约包装纸的角度来寻求最优的 方法，需要学生凭借经验合理猜测，然后通过计算进行验证 对比。而计算的方法是多样化的，教师引导学生侧重关注了 “总面积减去重叠面积”这种方法，采用追问的方式引导学 生分析计算结果，然后反观其过程，使学生聚焦重叠面积的 大小与表面积大小之间的关系，体验到重叠大面最节约包装 纸，由表及里地把学生的思维引向深入，优化了思考问题的 途径，发展了推理能力和反思能力，为后续探究道路指明了 方向。

三、破除定势 学生知道包装两盒重叠大面最节约后，笔者让学生思考， 包装三盒怎样最节约呢？根据先前的经验，刚开始学生发现 共有三种方法：4个大面重叠、4个中面重叠和4个小面重叠， 其中，4个大面重叠最节约包装纸。之后，为了让学生意识 到两个中面之和与一个大面相等的情况下还可以有另外包 装的方式，于是拿出事先准备好的大面（20×10）、中面（20 ×5）、小面（10×5）相同的3个盒子，询问学生除了大家 想到三种方式，还可以怎样摆？学生很快意识到还可以先重 叠其中2个大面，再让另1个大面与2个中面重合的包装方式。

这样看起来就重叠了3个大面，2个中面，不同于前三种包装 方式，那么是不是这种方法比前面三种方法更节约包装纸 呢？再让学生想一想、算一算，学生在观察、思考、演算中发现2个中面之和与1个大面正好重合，相当于还是重叠了4 个大面。这样，大面重叠最节约包装纸的经验对于包装盒个 数多的情况不是唯一的，有些情况下还可能不成立。

把重叠大面最节约包装纸的经验和方法迁移到解决三 个糖果盒包一包的问题上来，具有一定的可取性，但也是片 面的。如何让学生深刻认识到重叠面积越大越节约包装纸而 不是重叠大面最节约包装纸呢？教师设计了三个特殊包装 盒包成一包，演示了常见的三种方式和特殊的包装方式（重 叠3个大面，2个中面），打破了学生既有的“重叠大面最节 约包装纸”的思维定势，让学生不断调整思路，逐层深入， 优化方法，把握问题的核心，关注重叠面积的大小。

四、分析推理 在探讨四盒糖果的包装方案时，学生分析出六种方案 （如下图）：①6个大面重叠；
②6个中面重叠；
③6个小面 重叠；
④4个大面4个中面重叠；
⑤4个中面4个小面重叠；
⑥ 4个大面4个小面重叠。教育 \2016\2016-12\Image\50-1.jpg> 6大面重叠6中面重叠 ①② 6小面重叠4大面4中面重叠 ③④ 4中面4小面重叠4大面4小面重叠 ⑤⑥ 根据图示和先前经验，学生发现最先排除的是方案②③ ⑤⑥，方案1中重叠了6个大面，方案4中重叠了4个大面和4 个中面，不好判断哪种方案更合理。经过分析，学生发现方 案①和方案④中都有四个大面，只需比较剩下的2个大面和4 个中面，最终可转化成比较1个大面和2个中面的面积大小。

如果1个大面的面积大于2个中面的面积，那么方案①最佳；

如果1个大面的面积等于2个中面的面积，这两种方案都可 行；
如果1个大面的面积小于2个中面的面积，那么方案④最 佳。笔者让学生结合以上操作经验，谈谈自己在节约包装方 面的体会。经过讨论，学生发现：重叠面积越大越节约包装 纸，首先考虑大面的多次重叠，其次是重叠的面数尽量多。