[从规律到模型《多边形的内角和》教学尝试] 多边形内角和的规律

从规律到模型《多边形的内角和》教学尝试

教学时，通过微调教材，引发学生思维的涟漪；
通过表格引 路，让规律呼之欲出；
通过回顾反思，让经验得以提升。

《多边形的内角和》是苏教版小学数学四年级下册安排 的一个“探索规律”专题。它是在已经认识了三角形、平行 四边形和梯形，知道三角形的内角和是180°等的基础上， 通过观察、操作等具体的活动，探索并发现多边形的内角和 与它的边数之间的关系，得出计算多边形内角和的方法，并 初步用数学模型“计算多边形内角和的式子”来表示。作为 “探索规律”，本课中学生数学思考的力度也就体现在这个 模型的建构上。

一、微调教材，让思维涟漪不断 对多边形的内角和的探索，教材是从四边形开始的，给 出的四边形是一个直角梯形，主张“先量出每个角的度数， 再求和”。这是很多学生都会想到的方法。这个梯形有两个 角是直角，另外两个角分别是40°和140°，这些角的度数 容易量出，一般不会有误差，能够得出内角和是360°。然 而，实际教学中我们发现，这样的编排虽容易验证猜想“四 边形的内角和是360°”，但不利于后续验证策略的出现——在准确量出了四边形的内角和是360°后，很多学生便觉 得万事大吉了。为此，我们对教材做了些许改变，将直角梯 形的另两个角40°和140°微调为不是整十度数的角。这样 的改变，引发了学生思维的涟漪。

师猜想一下，（板书：猜想）四边形的内角和可能是多 少度？ 生360°。

（板书：360°？） 师你为什么会猜是360°的呢？ 生因为长方形和正方形的内角和都是360°，所以我猜 四边形的内角和可能是360°。

师同意吗？ 生（齐）同意。

师这样的猜想看上去是合理的，不过，既然是猜想，那 我们接下来要做的事情就是——验证。（板书：验证）老师 为每个同学都准备了一个相同的一般四边形，请大家把它拿 出来。为了便于研究，我们给四边形的四个角分别标上∠1、 ∠2、∠3、∠4。

（学生给四边形四个角分别标上序号，如图1。） 师接下去想办法验证，看看它的内角和是不是360°。

（学生独立操作、验证，教师巡视，然后全班交流。） 师谁愿意到前面来把自己验证的过程和结果与大家分 享一下？生我是通过测量和计算，发现这个四边形的内角和是 360°。

师请你具体介绍一下测量和计算的过程。

生我先量出∠3是42°，∠4是138°，∠1和∠2都是直 角，是90°，所以∠1+∠2+∠3+∠4=90°+90°+42°+138° =360°，因此，验证了这个四边形的内角和是360°。

师还有哪些同学也是运用测量方法的？得到的结果和 他一样吗？ 生我量出∠3是43°，∠4是139°，∠1+∠2+∠3+∠ 4=90°+90°+43°+139°=362°。

生我跟他们的结果有点不一样，我量出∠3是41°，∠4 是138°，∠1+∠2+∠3+∠4=90°+90°+41°+138°=359°。

师出现了不同的结果，原因可能是什么呢？ 生（小声地）在证明三角形内角和时也出现过，叫“误 差”。

生测量结果出现误差是正常的。不过照这样，这个四边 形的内角和到底是不是360°，那还不一定呢？ 师他对量的方法提出了质疑，还有用其他方法验证的 吗？ 生我是用先撕再拼的方法，∠3和∠4拼在一起得到一个 平角是180°，（展示，如图2）再加上∠1和∠2，得到这个 四边形的内角和是360°。

生先撕再拼这个方法也不能让人放心，因为撕拼的过程中难免有些小的重叠或缝隙，也不能保证结果一定就是 360°。

师真爱思辨，很好！还有更加可靠的方法吗？ 生我是折的，将四边形沿对角对折，（展示，如图3） 分成了两个三角形，这两个三角形的内角和就是四边形的内 角和。

师（将折痕画上虚线）他是“折分”的，这个方法有点 儿意思。大家听明白他的意思了吗？但我有一个疑问，这两 个三角形的内角和相加为什么就等于四边形的内角和呢？ 能给大家解释解释吗？ 生∠1、∠5、∠8是这个三角形的三个内角，∠1+∠5+ ∠8=180°；
∠3、∠6、∠7是第二个三角形的三个内角， ∠3+∠6+∠7=180°。这里，∠5+∠6就是四边形的∠2，∠7+ ∠8就是四边形的∠4，这两个三角形的内角和就是四边形的 内角和，所以这个四边形的内角和是360°。

师非常严密的推理。（掌声）为了让大家看得更清楚一 些，老师用课件再来演示一下刚才这个同学的思考过程。

（课件演示将四边形分成两个三角形的过程，突出：分成的 两个三角形内角的和就是原来四边形的内角和）把求四边形 的内角和的问题转化成求两个三角形的内角和的问题来解 决，（板书：转化）这种分的方法，既新颖又可靠。把掌声 再次送给他！ 师刚才我们把这个四边形分成两个三角形，还有不同的分法吗？ 生我把这个四边形分成了一个长方形和一个三角形。

（展示，如图4）长方形的内角和是360°，三角形的内角和 是180°,360°+180°-180°=360°。

师你为什么要减180°呢？ 生因为把这个四边形分成一个长方形和一个三角形， （指着虚线边上的两个直角）多出了这两个直角。

师如果把长方形的内角和与三角形的内角和加起来，还 是不是原来四边形的内角和呢？ 生不是，比原来多出了两个直角。

师比一比，两种分法，哪种分法好呢？为什么？ 生第一种分法好，它没有多出内角。

师是啊，“分一分”是个好方法，但怎样分很重要，我 们要尽可能使分出来的图形的内角和正好等于原来四边形 的内角和，否则，计算时就会多出一些麻烦。现在你能确定 这个四边形的内角和是多少度了吗？ 生360°。

师如果让你继续研究其他四边形的内角和，你会选择哪 种方法呢？ …… 对教材的些许改变，使得学生测量时有了误差，得出四 边形的内角和在360°上下。因为有探索三角形内角和的经 验，学生几乎都感悟到这是“误差”使然，但还是有些存疑：“测量结果出现误差是正常的，不过照这样，这个四边形的 内角和到底是不是360°，那还不一定呢？”这样的疑问， 很自然地引出其他探索策略，并进一步激发起探究的欲望。

折分策略的最佳思路是把四边形分成两个三角形，使求四边 形的内角和的问题转化成求两个三角形内角和的问题。这是 复杂问题向简单问题的转化，是未知问题向已知问题的转化， 是解决多边形内角和的一种策略。这种策略，不仅能算出四 边形的内角和，还能算出更多边形的内角和。独立想到这个 方法的学生不是很多，鉴于这种策略的重要与便捷，教学过 程“慢”下来，当学生简要交流方法后，教师及时点赞“这 个方法有点儿意思”，接下来话锋一转：“但我有一个疑问， 这两个三角形的内角和相加为什么就等于四边形的内角和 呢，能给大家解释解释吗？”以此引导学生理解四边形的内 角和就是分成的两个三角形的内角和，看到每个三角形都有 一个角是四边形的角，还有两个角分别与另一个三角形的两 个角拼成四边形的角。这是一个分析、推理、表达、交流的 过程。然后，教师通过投影，重演“分一分”的过程，引导 学生进一步明晰四边形的内角和与分成的两个三角形的内 角和的关系，体会转化策略的精要。

二、表格引路，让规律呼之欲出 师四边形的内角和我们知道了。接下来，你能试着用“分 一分”的方法继续研究五边形、六边形的内角和吗？请将探 索的结果填在表格内。（出示表1，学生各自操作、思考，教师巡视，然后组 织交流。） 生（展示，如图5）把五边形分成3个三角形，每个三角 形的内角和是180°,3×180°＝540°，所以五边形的内角 和是540°。

师（板书：3，3×180°）3个三角形的内角和正好等于 五边形的内角和吗？会不会有多余的角？ 生3个三角形的内角和正好等于五边形的内角和，没有 出现多余的角。

师除了上面这样的分法，有没有不一样的分法呢？ 生我是这样分的。（展示，如图6）也分成了3个三角形， 3个三角形的内角和正好等于五边形的内角和。

师这些不同分法有什么共同之处？ 生都是从一个点出发，都是把五边形的内角和转化3个 我们熟悉的三角形的内角和，都没出现多余的角。

师六边形的内角和又是怎样求的呢？ 生将六边形分成4个三角形，（展示，如图7）这4个三 角形的内角和正好等于六边形的内角和，所以六边形的内角 和一定是4×180°＝720°。

师（板书：4，4×180°）想象一下，如果是一个七边 形，像刚才这样，一共可以分成多少个三角形？它的内角和 是多少度呢？ 生如果是一个七边形，一共可以分成5个三角形，它的内角和是5×180°=900°。

师（板书：7，5，5×180°）八边形可以分成几个三角 形？内角和又是多少度呢？ 生八边形可以分成6个三角形？内角和是6×180°=1 080°。

师（板书：8，6，6×180°）结果究竟是不是这样？我 们一起来看一下。（投影演示将七边形分成5个三角形，八 边形分成6个三角形的过程）刚才同学们在回答七边形、八 边形的内角和时，都没有动手画一画、分一分，就知道可以 分成几个三角形，也知道它们的内角和是几个180°，你们 是不是发现了什么规律？ 生多边形的边数越多，分成的三角形的个数越多，内角 的度数就越大。

生我发现五边形的内角和是3个180°，比四边形的内角 和多180°；
六边形的内角和是4个180°，比五边形的内角 和多180°。接下去，七边形比六边形又多180°，八边形比 七边形还是多180°。

师现在你能求出十二边形的内角和吗？ 生10×180°=1800°。

师这里的“10”表示什么意义？ 生这里的“10”表示10个三角形。

师如果要求一个二十边形的内角和，你又会怎样去做？ 生18×180°。生（情不自禁地）我知道了，求多边形的内角和，用“（边 数－2）×180°”。

师想一想，这里的（边数－2）表示什么意思？为什么 减2？ …… 运用转化策略，学生虽然能算出多边形的内角和是多少 度，但总结求多边形内角和的规律还是有困难的，为此，教 材中设计了一个“脚手架”——一张表格，分别把四边形、 五边形、六边形、七边形、八边形……的“边数”“分成三 角形的个数”“内角和”等数据填进去。表格内的数据有序 地排列着，能清楚地看到图形的边数越多，分成的三角形的 个数越多，内角的度数就越大，还能看到多边形分成的三角 形的个数总比它的边数少2，这时，规律呼之即出，模型建 构水到渠成。

[本文转自 第—论文网代写教育研究论文] wWw.dYLW.nEt 三、回顾反思，让经验得以提升 师刚才，同学们通过自己的努力，探索并发现了多边形 内角和的计算方法。回顾探索和发现规律的过程，谁来说说 看，我们有哪些收获和体会？ 生我知道了求多边形内角和的计算方法：多边形的内角 和=（边数－2）×180°。

师我们是怎样得到这个计算方法的？生运用转化的策略，将多边形的内角和转化成几个三角 形的内角和。面对新的、复杂的问题，我们可以把它转化成 我们已经学过的简单问题。

师非常棒！ 生面对复杂的问题，我们可以从简单的问题想起。

生为了使问题得到有效解决，我们要有序思考。

生解决问题的策略可能有很多，我们要学会选择可靠的、 最优的策略。

生产生的猜想、发现的规律必须要验证，这样才可信。

生自己动手探索出规律，比什么都快乐！ …… 师是啊，同学们的收获可真多，体会也很深刻，相信大 家在以后的学习中，一定能运用这些经验与方法发现更多的 规律，获得更多的感悟。

…… 从经验到策略，从知识到能力，反思是关键。引导学生 自主地回顾与反思，如说一说学习了什么、学到了什么、怎 样学的、有什么收获和疑问，可以进一步明晰所发现的规律， 不断完善数学认知，提升数学思维水平。