思维必然生长数学的理性向往 理性的思维

思维必然生长数学的理性向往

教育不是注满一桶水，而是点燃一把火；
不仅要帮助学 生掌握知识，而且要帮助学生学会思考。大道至简，万物相 通。“生长数学”的理念倡导教给学生具有生长力的数学。

“生长数学”理念下的思维必然主张，是指教师根据数学学 习的具体内容，结合学生的思维发展规律，在数学知识的结 构中，构建合适的思维场景，让学生在这个“思维场”中内 生地、自然地产生必然的思维方向。同时，教师在这个“思 维场”中只对学生进行必要的帮扶、提醒、点评，发挥类似 于植物生长过程中浇水、施肥、修剪的作用。正因为此，它 既对应自然生长的意蕴，又体现数学思维的本质，是“生长 数学”的理性向往。那么，教学中如何创设思维必然的场景， 发挥“生长数学”的智慧呢？笔者认为，可以从下面三个方 面入手。

一、固化类比源，激发最近联想，让学生“想得到” 对于思维的生长与生成，首先要解决的问题是怎样让学生“想得到”解决问题的策略与方法，产生一个念头。事实 上，这就是让学生对问题进行把握与分析，依赖于学生的 “想”：有方向的想、有效的想。其本质要求则是让学生想 到与待解决问题关联度最大的原始问题，然后用类比的思维 来解决问题。类比是由两个对象的某些相同或相似的性质， 推断它们在其他性质上也可能相同或相似的一种推理形式。

因此，教学中首先要固化类比源，用来激发学生的最近联想， 从而让学生“想得到”。

比如，教学“不等式”时，就要引导学生将其与最近的 类比源“方程”进行联系，产生最近联想。为此，首先要解 决的问题就是让学生对“方程”这个类比源十分熟悉，即对 方程的相关定义、求解方法以及实际应用有一个清晰的认识。

这个过程就是固化类比源的过程。

那么，如何固化类比源呢？一是在教学“方程”时，就 把它教好，让学生学好，形成一个扎实的基本模块。但是， 学生即使当时学得很好，随着时间的推移，也可能产生遗忘。

要知道学生究竟遗忘了多少，最好的方法就是在教学“不等 式”前，对“方程”进行一个前测。如果学生忘得较多，就 应在教学“不等式”前对“方程”进行一个专门的复习。如 果学生忘得较少，则可在教学“不等式”的过程中通过唤醒， 固化“方程”这个类比源。因此可以认为，通过前测，选择 恰当方法进行补救，是固化类比源的第二个路径。

固化了类比源，学生解决不等式问题时才能顺利地“想得到”——因为接下来发生的思维事件离学生之前的学习经 历最近。不过，不等式毕竟不是方程，它有异于方程的一系 列的特性。这是在实际教学中应该重点强调的事情，因为只 有这样，才能抓住牛鼻子。

要注意的第一个问题是不等式相关概念的构建。对于不 等式的概念，学生由方程的概念可以自然地类比得到。不过， 要引导学生分析不等符号“＞”“＜”“≠”“≥”“≤” 的意义，这是不等式与方程概念不同的地方。特别要在对 “≥”“≤”的理解上下功夫。比如，“≥”读作“大于等 于”，表示“大于或者等于”，但是，初学时有很多学生认 为“大于等于”是“大于且等于”，由此认为“3≥2”这类 式子是错误的。这里要讲清楚“或”怎么表达，“且”怎么 表达。尤其要指出“且”在数学上用大（花）括号表示。其 实，方程组中就用大（花）括号表示“且”了，只是，学生 当时对它没有强烈的认识罢了。

这里讲明这一点，学生在解不等式组时才能根据大（花） 括号找其中每个不等式的公共解集。

要注意的第二个问题是不等式解集这个概念的构建。为 什么根据方程求得的结果称为“方程的解”，而根据不等式 求出的结果称为“不等式的解集”？这个问题要让学生搞清 楚。“解”是什么意思？“解集”又是什么意思？要把它分 析到位。对此，可以设计下面的活动来构建：一元一次方程 x－3=0的解只有一个，而一元一次不等式x－3＞0的解有多个；
一般地，方程的解有有限个，不等式的解有无限个；
有 限个的解可以具体地说出来，无限个的解没办法说全，数学 上就把它称为“解集”，这里的“集”是集体的意思。接下 来的问题就“生长”为如何表示不等式解集的问题。数学人 永远都是充满智慧的。在数学上要表示一个东西通常有三种 方法：第一种是用符号表示，第二种是用表格表示，第三种 是用图形（像）表示。具体到不等式x－3＞0中，用符号表 示它的解集，就是x＞3。这样表示很抽象，怎么办？那就举 些例子，于是想到了列表格来表示。这样表示还是不够直观， 怎么办？那就画出图形（数形结合思想），于是自然地就想 到用数轴来表示。这样，用数轴表示不等式的解集就不是教 师强加给学生的，而是学生在学习活动中自主构建（发现、 创造）的，这个过程意义重大。

当然，我们还可以用上述方法来构建不等式的基本性质、 不等式的解法、不等式组的解法、不等式解集的检验等—— 这里就不一一呈现了。

二、构建思维链，营造逻辑连贯，让学生“想得妙” 数学教学中不仅要让学生“想得到”解决问题的策略与 方法，有时还要通过艺术的处理让学生“想得妙”，形成一 个定数，这样才能优化学生的思维，提升学生的思维品质。

如果说“想得到”是对解决问题的把握与分析，那么“想得 妙”则是在更深的层次上对“想得到”的综合与优化。学生 “想得妙”依赖于教师巧构教育形态的思维链，来营造前后一致的逻辑连贯。

比如，对“全等三角形”的教学，现行教材都是将全等 三角形的定义、性质、判定分开来研究的，特别是将全等三 角形的判定公理（基本事实）、判定定理按判定条件从少到 多的方法，分内容、分课时来构建。这样可能会使学生产生 盲人摸象的感觉，不利于整体思维的培养，更不利于数学核 心素养的形成。为了克服上述不利因素，就要构建让学生“想 得妙”的思维链。

教学“全等三角形”时，可以开门见山地向学生提出：
如果仅从图形的形状、大小这两个要素来研究任意两个图形 的关系，你打算怎么研究？提出这个问题是为了让学生能自 然地想到，要以形状和大小这两个标准，用分类的思想将任 意两个图形转化成“形状相同，大小相等”“形状相同，大 小不相等”“形状不相同，大小相等”“形状不相同，大小 不相等”这四种情况来研究。这种“化无限为有限”的思维 必然十分神奇，事实上它就是一个“想得妙”的招式。

在此基础上，可以继续向学生提出：上述四种情况又应 该按怎样的顺序研究呢？学生很容易发现：要用从特殊到一 般的方法来研究，即先研究形状与大小都一样的两个图形。

这时，可以顺势指出：我们把形状相同，大小相等的两个图 形叫作全等图形。

接着，可以追问：同学们，你们准备如何来研究全等图 形呢？这个问题是要让学生回到研究几何问题的基本套路上来，就是让学生知道要研究全等三角形的“定义—性质— 判定—应用”。

由此，可以追问：你们能给全等三角形下个定义吗？学 生有了前面全等图形的概念，给全等三角形下个定义就是水 到渠成的事情了。要注意的是，学生给出的定义可能是“形 状相同、大小相等的两个三角形叫作全等三角形”的静态定 义。此时，要启发学生得到“能够完全重合的两个三角形叫 作全等三角形”的动态定义，为下面探究三角形全等的条件 打好基础。

知道了全等三角形的定义，问题就应该“生长”为研究 全等三角形的性质了。可以追问：谁能说出全等三角形的性 质？学生在此之前已经积累了一些研究几何图形性质的经 验，此时根据定义说出全等三角形的性质也是件容易的事情。

了解了全等三角形的性质，问题就应该“生长”为研究 全等三角形的判定条件了。这是“全等三角形”教学的重点 和难点。要想让学生顺利地完成这个探究任务，就得让学生 回顾研究图形判定方法的经验，即研究判定首先要从定义出 发，得到“定义法”；
还可以根据图形自身的特点，探究出 比“定义法”更好用的“判定定理法”。有了这个经验，就 少了一些障碍，接下来的探究尽管还有难度，但是会顺畅得 多。

根据定义，学生能够说出：把两个三角形放到一起，看 它们能否重合。如果重合，它们就全等；
如果不重合，它们就不全等。此时，可以反问：你如何确定它们是不是重合呢？ 学生会必然地想到，这种重合法在理论上是可以的，但是在 实际操作过程中有些“不靠谱”，因此有必要探究其他判定 方法。

这时，可以追问：其他判定方法是什么呢？这是真正的 重点和难点。可以让学生还是回归到定义。如果学生不得法 的话，可以提出：两个图形重合反映在数量关系上是什么意 思？学生就可以得到“在两个三角形中，只要三个角分别相 等，三条边分别相等，这两个三角形就全等”的结论。

这时，要指出：这种方法相对于上述“重合法”是一种 进步，因为可以进行量化处理了；
但是，它要具备六个条件， 在实际操作过程中是不是有“不好用”之嫌？这样来逼学生 思考：判定的条件能不能少一些？如果能，能少到什么程 度？这种从多到少的方式是一个积极的创新。现行教材中， 判定两个三角形全等时都采用判定条件由少到多的思路进 行探究。但是，这种从少到多的方法在实际探究过程中很难 让学生想到，只能由教师强塞，为此教学就显得不自然。

接下来的问题就“生长”为对六个条件逐个减少的问 题：减少到五个可以吗？四个呢？还能减少吗？两个行不 行？其中有丰富的探究内含，应该是本课探究的主体部分之 一，需要靠教学智慧在教学中进行绽放——这里就不对其中 各个细节逐一说明了。通过探究活动，把结果定位到要且只 要具备三个判定条件，就行了。那么，问题就“生长”成要具备什么样的三个条件。这 就很巧妙地引导学生对这三个条件进行分类探究，即分为 “三个角分别相等”“一角和两边分别相等”“两角和一边 分别相等”“三条边分别相等”这四种情况分别探究，并且 对“一角和两边分别相等”“两角和一边分别相等”这两种 情况再进行分类探究。所以，上述问题主要是一个二级分类 的问题：对上面的每一种情况进行分别探究，找出三角形全 等的具体条件——这些内容教材上都有体现，这里就不一一 赘述了。

需要说明的是，探究三角形全等的某个具体条件时，除 了让学生用教材上的“实验操作”来感受“基本事实”的真 实性、正确性、合理性之外，对于数学思维能力较强的学生， 还可以让他们用“确定的思想”来感受判定条件的自然性、 必然性、应然性。比如，对于“边边边”这一基本事实，可 以引导学生根据条件，静态地感受自己画出的三角形应该与 班上的其他学生画出的三角形“完全一样”，也应该与其他 班上的学生、美国的学生、日本的学生等画出的三角形“完 全一样”。这里的“完全一样”就是全等的本质含义，即形 状、大小都一样。这就是“确定的思想”，这种思想是对全 等三角形的一种巧妙的理解与把握，它的思维价值极高，品 质内涵非常丰富。

这样通过问题链的形式让学生产生思维必然，是引导学 生探究的主要方式。“生长数学”的理念就是要强化这些方面的思维要素。上述思维活动的巧妙之处还在于，教师不断 地将思维点生长成思维链，让学生在思维点、思维链上感受 到前后一致的判定思想。这种前后一致的思想，从宏观上来 看，就是数量关系决定位置关系——就学生学习的经验而言， 具体表现为两直线垂直是由两直线形成的交角的数量关系 决定的，两直线平行是由同位角、内错角、同旁内角的数量 关系决定的，点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系是由 圆心到点的距离、圆心到直线的距离决定的。从微观上来看， 就是任何一个判定都有两种方法：一是根据定义来判定，产 生了定义法；
二是挖掘图形，将定义法在图形自身的特性上 延伸，产生了异于定义法的判定定理法。这样的思想理应成 为研究判定的通性通法。

三、编织体验包，聚焦一以贯之，让学生“想得透” 在解决问题的思维之旅上，不仅要让学生“想得到”“想 得妙”，更要让学生“想得透”，获得一种境界，这样才能 让学生的思维走向远方。如果说“想得妙”是对解决问题的 综合与优化，那么“想得透”就是在更高的层次上对“想得 妙”的领悟与提升。学生“想得透”依赖于教师巧织综合、 打通的体验包，让学生感悟一以贯之的数学魅力。

如果说“想得到”“想得妙”是“术”，那么“想得透” 则是“道”，它可以使问题的本来面目昭然于天下。因此， 数学中一以贯之的不仅是一道题目、一课内容、一章内容的 前后一致，而且是整个知识体系的前后一致。教师要独具慧眼，开发好、整合好、积累好相关的教学资源，逐步形成资 源包，在教学中有机地让学生感受到这种一以贯之的思维策 略。

一方面，作为一个清晰完整的知识体系，数学中有不少 一以贯之的思维形式。对此，在教学中要加以揭示和提炼。

比如，定义一个数学概念，通常有两种方式：一是用文字描 述，表现为“……叫作××”“把……称（简称、统称）为 ××”“……就形成了××”的形式；
二是用符号描述，表 现为“样子+条件”的形式。显然，后者更能凸显数学的特 色，在数学中十分常见。例如：“有理数——nm(m≠0，m、 n互质)”“科学记数法——a×10n(1≤a＜10，n为整数)” “分式——AB（B中含有字母）”“二次根式—— a（a≥0）”“一次函数——y＝kx＋b（k、b是常量， k≠0)”“二次函数——y＝ax2＋bx＋c（a、b、c是常量， a≠0）”“反比例函数——y＝kx（k是常量，k≠0)”“一 元一次方程式——ax＋b＝0（a、b是已知数，a≠0）”“一 元二次方程—— ax2＋bx＋c＝0（a、b、c是已知数，a≠0）”等等。如 果从这个角度来看待数学命题，那么每一个基本事实、定理 都可以用“样子+条件”的形式表示。例如，“同位角相等， 两直线平行”这一基本事实中，“样子”就是同位角，“条 件”就是这两个同位角是相等的；
“等腰三角形的两底角相 等”这一定理中，“样子”就是三角形，“条件”就是这个三角形中有两条边相等；
等等。

另一方面，因为人为编写的原因，教材中也有一些前后 不一致的教学内容，造成了不是一以贯之的思维形式。对此， 在教学中要进行调整，至少要予以说明。例如，教材中研究 平行线时，先研究判定，再研究性质；
而研究特殊的四边形 时，先研究性质，再研究判定。对此，从落实学术的规范性 上看，应该先研究判定，再研究性质。这是因为《义务教育 数学课程标准（2011年版）》将“同位角相等，两直线平行” 规定为基本事实，只有发现了作为判定的基本事实，才能证 明作为性质的推论。从认识事物的功利性上看，则可以先研 究性质，再研究判定。这是因为研究性质说到底就是研究“好 处”，研究判定说到底就是研究“获得”，只有认识了“好 处”，才会想要“获得”。于是教学中，可以在研究特殊的 四边形时，调整研究的顺序；
也可以在研究平行线时，说明 逻辑的关系。

参考文献：
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