【重组练习材料,提升思维品质】

重组练习材料 提升思维品质

一、经历分层探究的过程，拓宽思维的广度 关注学生的学习基础与学习能力，创设简洁的情境，一 题多变，促使学生在灵活运用三角形面积计算公式的基础上 分层探究，在直观感受与动手操作中进一步理解“等底等高， 面积相等”的含义，真正弄清知识的来龙去脉。

【案例1】在方格纸中分别以下面直角三角形的BC、AB、 AC三条边为底，画出与它面积相等的三角形。（见图1）环节一：以直角三角形的BC边为底，画出与它面积相等 的三角形。（见图2）。

反馈：先选择学生的作品展示，再引导学生理解：这些 三角形的形状完全不同，但是等底等高，所以面积肯定相等。

师：像这样的三角形还能画吗？你能快速找到它们吗？ 生：我画一条与BC平行的平行线，可以很快找到无数个 这样的三角形。

再引导学生发现平行线可以朝上画，也可以朝下画，所 以这样的三角形有无数个。随后课件演示。（见图3） 师：因为这些三角形等底等高，所以面积肯定相等。即 使形状千变万化，但是面积始终不变，这就是我们在数学学 习中通常说到的“等积变形”。

环节二：请在头脑中想象，以直角边AB为底，画出与原 三角形面积相等的三角形。学生先独立思考，教师再用课件 演示以AB为底的画法。（见图4）环节三：出示一幅没有方格的图，学生以斜边AC为底， 画出与原三角形面积相等的三角形。

先反馈学生作品，再演示课件上的画法，接着教师再用 电子白板演示在平行线上拉动三角形顶点，形状改变但面积 不变的过程。（见图5） 小结：不管平行线是横向还是纵向，或者是斜向的，只 要三角形的一条边在平行线上，对应顶点在另一条平行线的 任意位置，所形成的无数个三角形都和原三角形面积相等， 因为它们既等底又等高。

同一素材一变再变，三个环节环环相扣，在充分感受“等 底等高，面积相等”的基础上，将思维提升到“等积变形” 的高度，把刚才的探究过程整理如下表：
二、体验多样的解题策略，提升思维的灵活度 “为班级学习共同体提供有一定难度的问题”是集体学 习材料理想的标准，无论是苏联的赞科夫还是日本的佐藤学， 都是同样的观点。先让学生充分地自主尝试，然后互相交流， 互通有无，体验多样的解题策略，真正学有所得，从而提升 思维的灵活度。【案例2】求出下面阴影部分的面积。

方法1：用大面积减小面积的方法做。先求大梯形的面 积，再减去空白部分三角形的面积，得到的就是阴影部分的 面积即32平方厘米。

方法2：因为两个阴影部分的三角形等高，所以可以把 左边阴影部分三角形变形，移动顶点和右边的三角形拼在一 起，组成一个规则的大三角形，底是16厘米，高是4厘米， 所以面积是32平方厘米。

然后教师引导一名学生用电子白板演示拉动顶点等积 变形的过程。学生认真观察，纷纷笑眯眯地点头，表示和自 己想的一样。（见图7） 师：还可以怎么变？ 方法3：把右边的三角形往左拉，也可以拼成一个底是 16厘米、高是4厘米的大三角形，两种方法本质上是相同的。

（见图8） 方法4：既然可以往左拉，往右拉，那么肯定可以从两边同时往中间拉。平行线上有无数个点，所以就有无数种拉 的方法。（见图9） 师：同学们的脑子真灵活呀，真是一点就通！（伸出大 拇指表示赞赏） 当学生在经历“山重水复疑无路”的无奈之后，在对比 和碰撞中打破思维平衡，在解决具体问题的过程中体验策略 多样化，并感悟“等积变形”方法的便捷性，最终收获“柳 暗花明又一村”的喜悦。

【案例3】求出不规则四边形的面积。（见下图10） 方法1：添加几条线，补出一个大长方形，就能很明显 看出两个三角形的面积之和就是这个长方形面积的一半，所 以直接用长方形面积除以2。（见图11） 方法2：假设上下两个三角形的高分别是h1和h2，求总 面积用6h1÷2+6h2÷2，可用乘法分配律变形为（6h1+6h2） ÷2，再到6（h1+h2）÷2，最后得到6×9÷2，结果也是27 平方厘米。（见图12） 方法3：用等积变形的方法，把上面三角形的顶点平行拉动到右边，直到把两个三角形变成一个规则的大三角形为 止。求总面积仍然用6×9÷2，结果还是27平方厘米。（见 图13） 同学每介绍一种做法，老师都真诚赞扬，其他同学也报 以热烈的掌声。

小结：三个同学，三种思路，都可以用算式6×9÷2来 解决，相比较而言，我们通过移动顶点，运用等积变形的方 法来做（见图13），显然更加简单。

这两道习题的设计是经过深思熟虑的，既可以用常规方 法来做，又能利用转化思想，用“等积变形”的方法来解决， 策略选择的多样化能满足不同层次的学生的需求。

三、提供富有张力的材料，挖掘思维的深度 数学教学要适当追求学生对知识理解的深刻性，教师要 善于捕捉与寻找复杂的、有张力的、有丰富内涵的关系，使 教学材料呈现丰富的结构，从而促使学生的思维更有深度。

【案例4】下图是由边长分别为5厘米和4厘米的两个正 方形组成，求阴影部分的面积。方法1：用两个大正方形的总面积减去空白部分，也就 是三个小三角形的面积，就得到阴影部分的面积。

师：同学们用常规方法——大面积减去小面积来做，很 好！但是，解决这道题还有更加巧妙的方法，我们是否可以 从等积变形的角度思考呢？ 学生独立思考，然后交流。

方法2：我把阴影部分看成两个小三角形，分别等积变 形，可以变成一个底和高都是4厘米的大三角形BEF，面积是 8平方厘米。（见图14） 师：非常棒，真是奇思妙想！（大家纷纷为这位同学献 上热烈的掌声。） 师：还有别的想法吗？如果没有，老师给个提示（课件 出示平行线），同学们再尝试解决。

方法3：以阴影部分三角形的一条边为底，将它对应的 顶点在这组平行线之间移动，移到它变成一个直角三角形为 止。这个直角三角CEG形恰好是小正方形面积的一半，所以面积就是4×4÷2=8平方厘米。（见图15） 有的同学还在思考，有的同学一下就看明白了，发出一 声惊呼。老师再借助电子白板，动态呈现在一组平行线之间 移动三角形顶点等积变形的过程，这时更多学生露出会心的 笑容。接下来，同桌之间对这道题如何采用等积变形的方法 再次讨论，交流。

师：你能像刚才这样，在这幅图再创造出两个面积相等 的三角形吗？试一试吧。（见图16） 在数学学习中，教的立足点是促进学生的学。从学生实 际出发，通过教材重组，提供合适难度的练习，渗透数学思 想方法，是培养学生思维不可或缺的要素，也是提高学生数 学素养不可忽视的途径。