在线性代数中引入线性方程的有效性 线性代数齐次线性方程

在线性代数中引入线性方程的有效性

摘 要：
矩阵的秩 线性方程的有效性 阶梯型 可逆矩阵 在线性代数的学习中，许多同学反应太抽象，许多定义 由于课时的限制没有办法和学生解释清楚。利用线性方程来 加深理解的方法，也由于架起了大学数学与中学数学的桥梁， 使学生的知识体系更加完整，提高了学生的学习积极性。

一、 矩阵的秩与线性方程组的有效方程个数 1.矩阵的秩即线性方程组的有效方程个数 若以线性方程组的有效方程个数作为其增广矩阵的秩 的直接定义。我们首先需要做的是，建立起这种定义方法与 一般的教材中秩的定义的等价性。

线性方程组的有效方程个数是指，除去可以被其他方程 线性组合的方程，方程组最后剩下的方程个数。如，线性方 程组 中（1.3）可以由（1.1）加（1.2）得到，从而它是无 效的。而（1.1）与（1.2）不呈比例关系，他们各自都有效。

因此方程组的有效方程个数为2。普通的线性代数教材都教会我们，2也是向量组的秩，其中 ，，， 从而2是矩阵的秩。

总结来说，我们可以定义阶矩阵 的秩为它对应的m个n元线性方程构成的方程组 （1.4） 中有效方程的个数。

证明也十分简单。众所周知，矩阵的秩是其行向量组的 秩，而向量组的秩为其最大线性无关组的成员个数，这与线 性方程组中方程的有效个数不谋而合。

结论1：线性方程组对应的增广矩阵的秩是指线性方程 组的有效方程个数。

2 化矩阵为阶梯型是在寻找方程组的有效方程个数 一般的教材中在介绍完向量之后才建立起矩阵的秩与 向量组的秩的关系。而在此之前，对于矩阵的秩是用了两种 方式定义，一种是非零子式的最高阶数，一种是化简为标准 型后左上角的单位阵的阶数，或化简为行阶梯型后的阶梯数。

我们常用的是后者，这也是我们求矩阵的秩的常规步骤。但 学生对这种求秩的方法只是生搬硬套，不曾了解它的用意。

如果以线性方程组中的方程的有效个数为过渡，学生对阶梯 型的阶梯数这一秩的定义会有更深刻的理解。

要想找到方程组的有效方程个数，当我们遇到由多个方 程构成的方程组时，肉眼很难分辨各行的关系。若采用阶梯消元法，则可以不用担心遗漏。

如，由m个n元线性方程构成的方程组（1.4）化为r个n 元阶梯型线性方程构成的方程组 （1.5） 这是不难办到的。可以证明（1.5）的方程总数r即方程 组（1.4）的有效方程个数。

首先，r不会少于方程组的有效个数，因为如何消元， 方程组里的方程数都不会少于它的有效方程个数。然后，我 们假设r大于方程组的有效个数，则不难得出结论，阶梯型 方程组中有一个方程仍可以由其他方程线性组合。不妨把这 个方程记作方程组的第h行，如下 显然第h行是不可能由（1.5）的其余行线性组合而成。

如果线性组合的成员中有（1.5）的第一行，则该线性组合 的的系数不可能为0（其它行的系数为0，无从抵消），同理， 线性组合的成员不包含（1.5）的第2行到第h-1行。然而， 如果线性组合的成员只有（1.5）的第h+1行到第r行，则的 系数永远是0。这种线性组合达不到第h行的结果。所以r小 于方程组的有效个数的假设不成立，r只能等于（1.4）的有 效方程个数。

从上面的证明过程我们发现，化方程组为阶梯型方程组 在寻找方程组的有效方程个数上，有着机械但简单不遗漏的 特点，这也正是阶梯型在线性代数的教材中被反复地用于各 种知识点的原因所在。结论2：化线性方程组为阶梯型线性方程组，是在寻找 方程组的有效方程个数。

这样，我们完成了对秩的定义从"线性方程组的有效方 程个数"到"行阶梯型的阶梯数"的过渡。

二、 可逆矩阵与每个方程都有效的n元线性方程组 1 可逆矩阵即每个方程都有效且不矛盾 一般教材中对可逆矩阵的定义是，存在n阶方阵与之相 乘得到单位阵的矩阵称为可逆矩阵。这是单纯从运算出发的 定义。克莱姆法则告诉我们，可逆矩阵对应的线性方程组具 有唯一的解，不可逆的矩阵对应的线性方程组可能无解，可 能有无穷多解。这提示我们，从另一个角度来看，可逆矩阵 对应着这样的一类线性方程组，这种线性方程组由n个n元线 性方程构成，且具备唯一的解。

结论3：以可逆矩阵作为系数矩阵对应的线性方程组， 是由n个有效且不矛盾的n元线性方程构成的线性方程组。

2 自由变量即有效方程个数小于变量个数 当n元线性方程组的n个线性方程仅包含m（m

线性代数中关于线性方程组的解的讨论是，n元线性方程组的系数矩阵的秩等于变量的个数，方程组具有唯一解；

系数矩阵的秩小于变量的个数，方程具有无穷多解，或无解。

用增广矩阵秩是线性方程组的有效个数来理解，在不含 有矛盾方程的前提下，n元线性方程组具有n个有效方程时， 方程组有唯一解；
n元线性方程具有m（m

这样，和中学的解方程的思想就统一起来了。

参考文献 ［1］程吉树，陈水利，线性代数［M］.北京：科学出 版社，2009. ［2］姚孟臣，大学文科数学简明教程［M］.北京：北 京大学出版社，2004.