“勾股定理”的教育价值与教学策略分析
“勾股定理”的教育价值与教学策略分析 每一个知识内容都有其内在的教育价值，将勾股定理置于数学知识体 系和文化价值系统中进行分析，找到勾股定理与其他知识内容之间的横向、纵向 联系有助于课堂教学策略的优化，帮助学生在习得知识的同时发展数学思维和学 科素养. 勾股定理的内容 搞清楚勾股定理的内容是有效实施教学的前提，具体的可以从代数和 几何两个角度进行叙述. 1. 代数角度的叙述 文字表征：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 符号表征：a2+b2=c2(a，b和c分别表示两直角边和斜边). 2. 几何角度的叙述 文字表征：一个直角三角形，以两直角边为边的两个正方形的面积之 和等于以斜边为边的正方形的面积. 图像表征：如图1所示. 勾股定理的教育价值 一个知识的教育价值是多方面的，对于勾股定理这个内容，其教育价 值和学科价值有如下几个方面：
1. 文化价值 从数学史上看，人们发现勾股定理、验证勾股定理及应用勾股定理的 过程蕴涵着丰富的文化价值，我们在教学过程中注重这些数学史、研究过程，有 助于激发学生的数学学习兴趣，在学习过程中体悟其存在的意义和实际价值. 2. 学科价值 从勾股定理的内容来看，其同时具有代数和几何的双重特征，是初中数学阶段几何与代数之间问题研究的一个重要桥梁，从勾股定理的证明方法来看， “演绎法”“变换法”和“代数法”三种方法教给学生，尤其是学生通过学习变换法(拼 图法)，能够帮助他们感受和理解运动与变换. 知识的教育价值不仅仅表现在概念和规律本身，在教学中还应该渗透 知识探究和被发现的过程. 勾股定理的发现、验证整个过程均蕴含着丰富的、可 渗透的思维素材，和学生一起探索和证明勾股定理，能够丰富学生的学习经验， 感悟数学学习和不断探索未知的价值：
(1)学生在探索过程中，探究图形基本元素之间的关系、几何结构， 而这一过程必然涉及空间推理和演算，从中学生能够感悟到数形结合的思想方法， 同时体会推理和证明的力量. (2)学生通过勾股定理的探索和证明，会自然而然地形成一种意识， 那就是要了解我们生存的空间，必须要学习更多的数学工具，并合理地应用. 勾股定理知识系统内结构分析 数学知识具有较强的系统性和完整性，置于知识系统中，勾股定理与 其他知识有着怎样的联系，学生在学习进程中又有怎样的连贯性呢 1. 知识间的横向联系 《勾股定理》在初中阶段与其他数学知识内容密切联系，如无理数、 三角函数、方程、四边形、圆等知识. 2. 知识间的纵向联系 从学生的学习进程来看，初中之前，学生在
小学阶段对三角形的三边 关系有了一个初步的了解：两边之和大于第三边;步入
初中，学习勾股定理内容 前，学生通过探索也对直角三角形的性质有了一定的了解：“斜边上的中线等于 斜边的一半，30°角所对直角边是斜边的一半. ” 那么，勾股定理在这里又有怎样的作用呢学习了这一内容后，学生可 以进一步从边的角度来定量地刻画直角三角形的特征，由此进一步深化学生对直 角三角形的认知. 学生从初中步入
高中阶段后呢勾股定理有没有其价值呢学生在高中将要继续
学习任意三角形中边长与角度之间的数量关系，在学习和理解正弦定理 和余弦定理时，需要用到勾股定理，可以将勾股定理视作为余弦定理的一种特殊 情况. 整个学习过程对直角三角形边角的关系，是从定性到定量，从一般到 特殊再到一般的思维进程. 帮助学生学会勾股定理的教学策略 如何帮助学生学会勾股定理呢 1. “探索→猜想→证明”法 笔者发现当前有部分教师在和学生探究勾股定理时采用的方法是：首 先让学生测量直角三角形三条边的长，接着要求学生猜想三条边长之间存在怎样 的数量关系，在学生猜想出三边之间的平方关系后，再证明勾股定理. 这样的方式有怎样的缺点呢 笔者曾经也尝试过这种方式，看似逻辑性很好，但是关键在于学生不 容易猜想出三边之间的平方关系，猜想卡壳了，后面的证明就出不来了. 为什么 会出现这样的困难呢原因有二：一是学生在测量时本身就有误差;二是从思维角 度来看，学生的确很难想到平方关系. 2. 利用方格纸进行探究 提供如图2、图3所示的方格纸. 首先，让学生计算直角三角形三边的平方分别是多少，只要能计算出 三边的平方，直角三角形三边之间的平方关系就很容易猜想出来. 这个时候学生会遇到怎样的困难呢 因为直角三角形边长的平方实际上就是每边上的正方形的面积. 其 中正方形1和正方形2的面积可以通过数方格的方法直接数出来，而斜边上正方形 (正方形3)的面积的计算则有一定的困难. 新的问题又出现了，怎么办呢方法又有两个.(1)“割”，如图4、图5所示. (2)“补”，如图6、图7所示. 上述在方格纸上运用内割法或外补法求斜边上正方形面积的
活动蕴 含了勾股定理的证明思路，由图5可得c2=(a-b)2+4ab，由图7可得(a+b)2=c2+4ab， 化简之后就得到a2+b2=c2. 因此，利用方格纸探究可以帮助
学生较顺利地猜想出 直角三角形三边的关系，同时水到渠成地获得定理的证明，使勾股定理的学习一 气呵成. 作者：严晓冬 来源：数学教学通讯·初中版
