中学数学论文 代数与几何示最值解中学数学论文

代数与几何示最值解中学数学论文

一、通过配方求最值 这是一种应用甚广的基本方法，也是处理多元函数最值 问题比较有效的方法。用配方法求最值问题的基本思路是设 法将问题通过变式配成若干个完全平方式之和的形式，然后 根据一元二次函数的单调性进行求解。例1：
2x2+4xy+5y2-4x+2y-5可取得的最小值为多少？解：原式= （x+2y）2+（x-2）2+（y+1）2-10由此可知，当x=2，y=-1 时，有最小值-10。例2：求函数y=5sinx+cos2x的最值。解：
y=5sinx+1-2sin2x=-2（sinx-54）2+338，可知，取sinx=1， 即当x=2kπ（k∈Z）时，ymax=-2×116+338=4，取sinx=-1， 即当x=π+2kπ（k∈Z）时，ymin=-2×8116+338=-6。评注：
用配方法求最值问题的依据是把问题转换成二次函数，结合 二次函数的图像来求。在最后一步把数据代入配方得到的式子中要注意自变量的取值范围，也就是确定定义域的范围 （如例2中对称轴是x=54而sinx的最大值为1）。这种方法适 用于求二次函数的最值或可转化为与二次函数有关的最值 问题。

二、通过均值不等式求最值 均值定理构成的注意事项。首先，我们应当关注如下的 预备知识。二元均值不等式：a+b2≥姨ab（a＞0，b＞0，当 且仅当a=b时取等号）。三元均值不等式：a+b+c3≥abc3姨， （a＞0，b＞0，当且仅当a=b=c时取等号）。n元均值不等式：
a1+a2+…+ann≥a1a2…ann姨（a1＞0，a2＞0，…，an＞0， 当且仅当a1=a2=…=an时取不等号）。同时，在运用均值不 等式求最值时应注意以下三点。1.函数解析式中各项均为正 数。2.函数的解析式中含有变数的各项的和或积必须有一个 定值。3.含变数的各项均相等时才能取得最值。例3：求函 数y=ax2+x+1x+1（x＞-1且a＞0）的最小值.解：
y=ax2+x+1x+1=ax+ax+1+（1-a）=a（1+x）+ax+1+1-2a≥2a （x+1）ax+1姨+1-2a=1，当且仅当a（x+1）=ax+1，即x=0时 等号成立，所以y的最小值为1满足其等号成立的条件，若不 满足则改用其他方法，如单调性。

三、通过数形结合法求最值 数形结合法在中学数学教学过程中的应用十分广泛，它 的主要思路是代数和几何思想的完美结合。通常是在解决代 数问题时，纯代数方法有时很难达到目的，这时把几何的思想渗透进来，往往问题能得到较好的解决。例4：若a、b是 小于1的正数，证明：a2+b2姨+（1-a）2+b2姨+a2+（1-b2姨） +（1-a）2+（1-b）2姨≥2姨2证明：作边长为1的正方形ABCD， 分别在AB、CD上取AE=a，AG=b，过E、G作EF∥AD，GH∥AB， 交DC于F，BC于H，EF与GH交于O，连结OA、OB、OC、OD、BD、 AC.∴OA=a2+b2姨，OB=（1-a）2+b2姨，OC=（1-a）2+（1-b） 2姨，OD=a2+（1-b2姨）.而OA+OC≥AC，OB+OD≥BD.即a2+b2 姨+（1-a）2+（1-b）2姨≥姨2，（1-a）2+b2姨+a2+（1-b2 姨）≥姨2.故a2+b2姨+（1-a）2+b2姨+a2+（1-b）2姨+（1-a） 2+（1-b）2姨≥2姨2.评注：所有数形结合就是代数与几何 结合起来探寻解决问题的方法。其应用范围在于用纯粹的代 数思想很难解决的代数问题时，可借助相关的几何图形，根 据几何性质能有助于我们把复杂问题简单化。

四、利用函数单调性求最值 先判明函数给定区间上的单调性，而后依据单调性求函 数的最值。1.对于一次函数、指数函数、对数函数等单调递 增或单调递减的函数，若定义域的闭区间，如x∈[m，n]， 则f（m）与f（n）中较大者为最大值，较小者为最小值。2. 求二次函数f（x）=ax2+bx+c在[m，n]上的最值时，先判定 对称轴x=-b2a是否属于[m，n]，若x=-b2a∈[m，n]，则f（m）、 f（n）与f（-b2a）中较大者是最大值，较小者是最小值， 若x=-b2a埸[m，n]则f（m）与f（n）中较大者为最大值，较 小者为最小值；
若二次函数f（x）=ax2+bx+c的定义域为R，当a＞0时，有最小值ymin=4ac-b24a.当a＜0时，有最大值 ymax=4ac-b24a.例5：已知函数f（x）定义域为R，为对任意 x1，x2∈R的都有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2），且x＞0时f （x）＜0，f（1）=-2，试判断f（x）在区间[-3，3]上是否 有最大值和最小值？如果有，试求出最大值和最小值；
如果 没有，请说明理由。解：令x1=x2=0，则f（0）=f（0）+f（0）， ∴f（0）=0.令x1=x，x2=-x，则f（x）+f（-x）=f（0）=0， ∴f（x）=-f（-x），∴f（x）为奇函数。设x1，x2∈R，且 x1＜x2，则x2-x1＞0，∴f（x2）-f（x1）=f（x2）+f（-x1） =f（x2-x1）＜0，∴f（x2）＜f（x1），∴f（x）在R上为 减函数。又f（1）=-2，∴f（3）=f（1+2）=f（1）+f（2） =3f（1）=-6，f（-3）=-f（3）=6，又f（x）在[-3，3]上 为减函数，故当x=-3时，f（x）max=f（-3）6，当x=3时，f （x）min=f（3）=-6.评注：利用函数的单调性是求最值问 题的常用方法，解题是必须先确定函数的单调区间，各区间 的增减性。如y=f（x）+kf（x）或利用基本不等式求最值不 能奏效时，往往考虑用函数的单调性来解。单调性法主要是 指定义法和导数法，其中以导数法用得最多，主要用于求三 次多项式函数的最值和解决实际问题中的最优化问题。

五、利用判别式求最值 这是一种在求分式最值、分子分母含有二次项并且能把 函数化成一元二次函数形式的方法。在平常教学中应用颇为 广泛，学生也易掌握。若函数y=f（x）可化成一个系数含有y关于x的二次方程，a（y）x2+b（y）x+c（y）=0.在a（y） ≠0时，由于x、y为实数，必须有Δ=[b（y）]2-4a（y）c（y） ≥0，由此求出y的所在范围确定函数最值。例6：已知函数 y=x2-xx2-x+1求其最值。分析：从整体函数看，其自变量为 x是二次函数，通过yx2-yx+y=x2-x进而有（y-1）x2+（1-y） x+y=0。因x∈R，然后运用到“Δ”求y的取值从而达到解题 目的。解：由y=x2-xx2-x+1得（y-1）x2+（1-y）x+y=0.∵y=1 时x无解，∴必须使得Δ=（1-y）2-4y（y-1）≥0，∴-13≤ y≤1.∵y≠1，∴y最小值等于-13.评注：判别式法主要适用 于可化为关于x的二次方程的函数，当x的范围是R时，仅考 虑Δ即可，当x的范围非R时，还需要结合图形另解不等式， 不能扩大y的取值范围。

六、利用换元法求最值 所谓换元就是变量替换，是指把一个数学式子中的某一 些以另一些与此相关的量去替代，从而使该数学式子变得较 为简单或易于解决的化归过程，其实质是数集到数集的映射 化归。主要有三角换元和代数换元两种，用换元时要特别注 意中间变量的取值范围。1.数学式换元。例7：求9 （x2-x+1x2+x+1）2+5（x∈R）的最大值与最小值。解：令：
x2-x+1x2+x+1=y，去分母得（y-1）x2+（y+1）x+（y-1）=0， 而x∈R，因此该方程的判别式Δ≥0，即（y+1）2-4（y-1） 2≥0.解得13≤y≤3.在z=9y2+5中，其函数是增函数，所以 当y=13时，函数有最小值6，当y=3时，函数有最大值86。例8：求y=姨x+2+12x+8（x＞-2）的最大值。分析：此题为含 根号的分式函数，不能直接运用均值不等式求最值，考虑分 子常数化，变形后对分母用均值不等式。解：设姨x+2=t， 则x=t2-2，故y=12•t+1（t+1）2-2（t+1）+3=12•1（t+1） +3t+1-2≤12•12姨3-2=姨3+18，当且仅当t+1=3t+1且t＞0， 即t=姨3-1，x=2-2姨3时，等号成立，即所求的最大值为姨 3+18.2.三角换元。三角函数中的求最值问题因其注重数学 知识间的交叉、渗透，解法灵活多变，突出对思维的灵活性 和严密性的考察，历来都是高考中的常见题型。学生在解决 这些问题的过程中常常由于个别环节上的疏漏而导致失误 丢分。下面通过对典型错解例题的剖析，揭示题型规律，提 高解题的准确性。例9：已知a2+b2≤2，c2+d2≤4，求ac+bd 的最大值。分析：若这道题直接运用不等式进行解题可能会 产生错解，因为2ac≤a2+c2，2bd≤b2+d2，所以ac+bd≤ a2+b2+c2+d22=3但其中取等号的条件a=c，b=d才能成立。于 是得到a2+b2=c2+d2，与已知相矛盾。在这种情况下，我们 应用三角函数替代得到a=姨2cosα，b=姨2sinα，c=2cosβ， d=2sinβ，代入原式得到一道简单的三角函数题。解：设a= 姨2cosα，b=姨2sinα，c=2cosβ，d=2sinβ，则ac+bd=2 姨2（cosαcosβ+sinαsinβ）=2姨2cos（α-β）≤2姨2， ∴当且仅当cos（α-β）=1时，即（a=b=1，c=d=姨2或a=b=-1， c=d=-姨2成立时取等号），∴ac+bd的最大值为2姨2.评注：
换元的方法形式多种多样，有的甚至涉及到多步换元或多种换元相互运用，我们要注意的是不管怎样变换，其变换的取 值范围都不能改变。这种方法有助于我们把复杂的式子简单 化，利于我们求解。

七、结语 近几年的高考题往往会在函数、三角、立体几何、解析 几何等知识的交汇点处命题，注重知识之间的交叉、渗透和 综合性。求函数的最值时，首先要仔细、认真观察其题型特 征，然后再选择恰当的方法。一般优先考虑配方法、数形结 合法、函数单调性法和基本不等式法，然后再考虑其他各种 特殊方法。在以上介绍的方法中，最简单的方法是配方法和 单调性法，最重要的方法是基本不等式法。总之，以上各种 方法需要灵活应用，有些题目可用多种方法，只有熟练掌握 各种方法才能在解题中做到得心应手，根据具体的题目选择 最好的方法。