高等数学 极限_极限与高等数学之间的相关性与内容的统一

极限与高等数学之间的相关性与内容的统一

摘 要：
极限；
高等数学；
相关性；
内容的统一性 极限与高等数学之间的相关性与内容的统一 曹桂文（商丘职业技术学院 河南商丘 476000） 摘要：极限是高等数学中最重要的部分之一。极限与 高等数学之间有着十分密切的联系。本文根据高等数学的教 学实况，对高等数学中的极限教学进行了重点探讨，把高等 数学的教学与极限教学相结合，对极限与高等数学之间的相 关性以及二者内容上的统一性进行了深入研讨。指出了极限 教学的基本方法和高等数学教学中极限思想的教育方法，为 学生解决极限这一难题有一定的效果。

微积分是高等数学的基础，而极限是微积分的基础。因 此，极限与高等数学之间有着密切的联系，并且极限把高等 数学各部分的重要内容都统一了起来，对高等数学的教学和 学习都有十分重要的作用。由此，极限与高等数学的相关性和内容的统一性值得我们去深入研究。

一、极限在高等数学中的作用 （一）极限是高等数学的基础 不管从产生的层面上来说，还是从发展的层面上来说， 极限都是高等数学的基础。在希腊时代，极限是无限可以的 观点早就被提了出来。他们认为无限是可分的，分为各个不 同情况进行分组分别对待。然后在此观点的基础上逐渐提出 函数最值的观点。在西方数学界，极限的观点被认为是对量 的可分性质疑并且是函数有解的最直接依据。

有史料记载，古希腊数学家欧多克索斯曾经提出穷竭法。

他认为量是无限可分的，可以根据不同的需要将量分成不同 的部分，从任意量中减去小于它的一部分都还可以在减去比 余量小得一部分就这样一直下去，最后剩下的是一个小于任 何一个给定量的量。这就是类似于极限的思想并且，他利用 这个思想解决了一些函数问题。这足以说明极限是高等函数 的基础，先于高等数学的产生和发展。

在现代的一些数学史书中也有记载，极限理论的产生和 发展都要遭遇高等数学，高等数学是极限发展到一定阶段与 其他几个数学原理部分共同组成。在内容上，极限把高等数 学的基本知识理论统一了起来。高等数学的内容基本是由极 限这条线索贯穿起来的。

（二）极限统一了高等数学中的各部分内容 极限是高等数学各部分得到统一的基础，高等数学的教学以极限的教学为基础。极限方法是高等数学中用来研究和 解决变量的基本方法，是人们对无限观念的另一种换位思考 的数学思想。极限体现的是变量与常量之间的关系，二者之 间既相互区别又相互联系，是辩证统一的关系。但是在本质 上都是对客观世界的量的转化。极限理论是高等数学的数学 理论的击穿，利用极限可以将高等数学中的倒数、积分、级 数都问题一一解决，并且极限可以将这些部分的内容系统地 统一起来。因此，极限同意了高等数学中各部分的内容，使 其由极限这一理论贯穿在了一起，形成了一个数学系统。

在本研究中，我们主要以正项级数和积分的关系来对这 一问题进行论证。正项级数由于部分和序列是单增得关系。

因此，根据单调有界数列的必有极限性。我们通过正项级数 部分与有界与否易于来讨论级数的收敛性。

在对任意项级数进行讨论时，我们通过取绝对值的方法， 把相关的数据转化为正项级数或者称作是非负项级数。然后 根据正项级数具有的收敛性的特点，将收敛级数分为两部分 分别是绝对收敛与条件收敛。在对绝对收敛级数进行运算时， 任意更换顺序后，它的绝对值仍旧不变。因此级数是不会改 变收敛性的性，而且值相同。在这一过程中，我们利用极限 理论的知识对项级数进行分解进行分别对待从而求出其绝 对值。这不仅是极限思想的应用，而且是整个高等数学解题 方式和思想的应用。

二、高等数学教育中极限思想的教学在高等数学中包含有很多的极限理论数学思想，从最先 的微积分到之后的级数、倒数等都包含有极限的理论思想。

（一）微积分——高等数学的基本内容， 微积分教学是高等数学教学的基础，在微积分的教学中 首要的任务是让学生认识到微积分的重要性，特别是极限的 重要性。高等学校的数学教学有别于高中的数学教学，极限 理论也有一定的区别。微积分的教学能够让学生明白大学数 学课程的内容，明白高等数学的重要性与主要内容以及相应 的学习目标。

在微积分的教学中，首先是极限理论的学习，让学生了 解高等数学与初等数学之间的区别以及联系。例如：高等数 学的研究对象是函数，而函数主要的研究对象是变量与变量 之间的关系。换一句话说就是变量随着变量变化的情况，由 此而引入高等数学中极限的概念。其次，是介绍极限的理论 知识。极限理论教学的首要任务是让学生明白微积分的基础 是极限并能够知道极限与整个高等数学各个板块内容之间 的关系。这里我们以无穷小为例进行解析。无穷小的定义 为：若时，函数则称函数为时的无穷小，记f(x)=o(1)。同 样，我们在解决相应的初等数学的基础上可以衍生出高等数 学中极限的真正含义并且认识到高等函数与初等函数中极 限概念的区别与联系。例如：试确定常数，使得函数 在内 连续当时，连续，当时，连续。

所以 当时，在连续 因此，当时，在内连续。

在引进初等极限的解法的时候不仅能够让初等函数与 高等数学之间的不同更加明显地体现出来，还能够让极限的 概念更加清晰。

（二）极限思想由浅入深贯穿整个高等数学 极限是初等数学与高等数学之间的过渡，变量对于新生 来说既陌生又熟悉。高等数学的教学基本是由浅入深介绍整 个极限的理论知识，极限的应用也由简单变得复杂。例如：
在极限的初步学习室我们只是知道无穷小是一种变量,不能 与很小的数混淆，零是可以作为无穷小的唯一的常数。但是 不知道真正的应用在于何处或者何处会出现这样的情况。随 着学习的深入，极限的学习会越来越深。

例如：设 具有极限，求的值。

因为，所以 ， 因此 并将其代入原式 因此，极限的学习不是一步而成的，而是由浅入深，也 正是这样极限才贯穿整个高等数学的全部内容把高等数学 的各部分内容统一了起来。

三、极限与高等数学之间的相关性与内容的统一性的具 体表现“高等数学”是各高等院校各专业学习的基础是重要得 基础理论课程。同时，它又是其他与数学相关的专业课的理 论基础，例如物理学、化学专业课程都会用到高等数学的知 识。但学好高数并不是一件易事，必须先明白极限与高等数 学之间的相关性与内容的统一性。即学好极限理论是学好整 个高等数学的基础。

（一） 极限与高等数学之间的相关性 高等数学中有辩证思考的方法，经常运用到正负之间的 辩证关系。在极限中，辩证思想是其基本理论观念。理性思 想是数学解决一体问题的关键，理性精神贯穿着整个数学思 想。具体分析得来有这样几个实例，极限中的有限与无限， 精确与近似，曲线与直线，量变与质变，具体与抽象这些辩 证统一的关系不仅蕴含在极限的思想中也蕴含在整个高等 数学的思想体系之中。

数极限的思想方法作为人类发现数学问题和解决数学 问题的一种重要手段，它不仅是我们学习极限或高等数学所 必须理解的，也是我们解决数学问题或实际问题所必须掌握 的思想方法。在以后的章节学习中更要提醒学生时刻不忘极 限的思想，深刻体会对立统一的辩证思想。

（二）极限与高等数学内容的统一 前面我们论证了极限是高等数学的基础，极限贯穿了整 个高等数学的内容体系。再者，从初等数学到高等数学，极 限思想虽有所不同但却起着桥梁般的作用，是初等数学与高等数学的过渡。因此，极限是高等数学的基础。

另外，初等数学发展到高等数学，由变量的研究转变为 变量随变量的变化的研究。以对极限的研究最为突出，极限 就是函数随自变量的变化而不断变化的最典型例子。并且， 在极限的基础上才开始了级数、二次积分、三次积分的研究。

因此，极限与高等数学内容的统一性不仅体现在解题思路上、 解题方法上更多地体现在对待整个高等数学的研究态度和 研究方法上。

（三）在高等数学的学习上的体现 首先，学习高等数学必须了解概念产生的背景。以极限 为例是函数与函数之间的关系变更而来，主要是在面对变量 随变量的变化中体现。

其次，怎样对这些具体的，比较特殊的概念或者生活中 的事物进行数学抽象。例如：极限主要是由辩证统一的思想 贯穿，在看待事物的时候必须理性并且用发展的眼观看待。

这也是整个高等数学学习的关键所在。

再次，经数学抽象后必须认真统计数量所体现的特征并 对其进行方法总结。数学问题千千万万但是解决数学问题的 关键还是在方法的积累。极限理论知识及解题方法的掌握能 够为高等数学其他部分的学习提供基础和解题思路以及解 题方法。

最后，是总结经验将各个基本概念之间的联系统一起来 形成系统。极限理论思想便是这样与整个高等数学内容进行统一，形成由它贯穿起来的整个高等数学内容体系。

四、结语 高等数学的研究对象是函数，而计算函数的工具是极限。

极限在高等数学中起着关键性的作用，也正是因为极限理论 的建立，高等数学才得以快速的发展。包括函数的连续性、 可积性、级数在内的多种高等数学概念都是以极限为基础所 形成的理论。由此可知，极限理论的学习和研究在高等数学 的教学、学习和研究中都有十分重要的作用，搞好极限理论 的研究是进行高等数学研究的基础。

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