[构建探究途径深化数学思维以三次函数的图象和性质教学为例]思维

构建探究途径深化数学思维以三次函数的图象和性质教学为例

另一方面，一些数学课堂的探究是一种“假探究”，让学生 进行一些肤浅的热闹行为。究其原因，既有传统教学思维和 应试的影响，也有部分教师对探究性教学的认识存在误区， 比如认为探究性教学耗时长、学生的思维容易信马由缰、探 究性教学仅是一种形式等。所以，对高中数学探究性教学需 要进一步建立本真的理解和认识，构建探究途径，走真正的、 深度的探究道路，深化学生数学思维。

一、探究性教学内容要精心选择 著名数学教育家波利亚说：“一个专心的认真备课的教 师能够拿出一个有意义的但又不太复杂的题目，去帮助学生 发掘问题的各个方面，使得通过这个问题，就好像打开一道 门户，把学生引入一个完整的理论领域。”所以探究性教学 内容需要精心选择，否则容易造成探究的形式化、浅表化甚 至娱乐化。本节课选取“三次函数的图象和性质”作为探究 内容是合适的，具体而言，学生已经掌握了导数研究函数的 一般方法，具备了知识与技能上的基础；
在掌握了多项式函数中的一次、二次函数的图象和性质后，学生比较渴望了解 三次函数图象和性质，具备了情感和态度上的基础；
相比于 一次函数和二次函数，三次函数的图象和性质更加多样而丰 富，具备了探究过程和空间上的基础。

二、探究性教学目标要有开放性 如果在探究时教师预设一个具体的目标，并要学生达到 它，那么这样的探究活动就是一个假探究，会限制学生思维， 妨碍学生创造性、主动性地学习，这是一种急功近利教学心 态的表现。只有学生在面对未知问题，运用探究式思维，经 由不断推理而生成结论的过程才是真实的探究过程。笔者在 此处的教学片段如下。

以小组为单位，请每组写出至少一个你最熟悉的三次函 数解析式（f（x）=ax3+bx2+cx+d，a≠0），并在同一坐标 系中作出其导函数与原函数简图。

学生讨论探究，教师巡视，之后各小组展示自己探究的 结果，如图1至图7。

在面对问题时，教师不能牵着学生的鼻子去达成具体的 目标，而应通过合作探究活动引导学生自然生成。如果给定 一个函数，学生就没有了探究的机会，没有了深化思维的可 能。这样的设计让目标更开放，学生得到了一个个“形状各 异”的函数图象，体验了数学发现和创造的过程，为后续学 习做了有效铺垫。

三、探究性教学过程要有自由度数学探究性教学强调尊重学生主体地位和指向数学思 维的培养。这要求在教学中必须改变以教师为主的讲授甚至 是灌输的传统教学思维，要“少占多让，少扶多放”，在数 学探究的过程中给学生时空上和思维上充分的自由度，这也 是数学探究真正发生和走向深度的必要保证。

1.学生在时空上有自由度。

在探究过程中要留足学生思考的时间和空间，“少占多 放”，该给学生的时间必须还给学生，并尽量给学生提供合 作、交流的平台，自我展示的机会。笔者在整个教学中，尤 其是在“以小组为单位，请每组写出至少一个你最熟悉的三 次函数解析式，并在同一坐标系中作出其导函数与原函数简 图。”“针对上面这些图，你有什么认识？”等问题的探究 上，给了学生充分的自由度，让学生畅所欲言、展示板演， 表面上“损失”了一些时间，但提高了目标达成的有效性和 思维的深刻性。

2.学生在思维上有自由度。

一个问题没有思维度就是剥夺了学生的自由创造空间， 扼杀了学生自主思维的能力；
一个好的问题必须有足够的思 维空间，让学生翱翔其中，体验数学发现和创造的过程，感 受探究的乐趣。笔者的教学片段如下。

师：针对上面这些图，你有什么认识？ 生1：这些图有些类似，从单调性角度可以分为两类， 一类是R上单调函数，如图2、3；
另一类在R上有增有减，如图1、4、5、6、7。

（追问1：这些函数单调性为什么不同？追问2：单调性 的不同与什么因素有关？） 生2：导函数的符号。导函数恒非正或恒非负则原函数 在R上是单调函数，导函数的值有正有负则原函数在R上有增 有减。

师：大家还有不同的认识吗？ 生3：根据从左到右的整体趋势分类，一类是整体向上 的，如图1、2、5、7；
一类是向下的，如图3、4、6。

（追问3：为什么有这个不同的趋势？） 生4：当a＞0时图象从左到右的趋势向上，a＜0时趋势 向下。

师：a＞0时图象趋势向上类型的，我们形象地称之为“上 天”，反之称之为“入地”。三次函数的这一特性类似于二 次函数图象开口方向与首项系数a的正负关系。

生5：根据图象的形状可分成四类，图1、5、7是第一类， 图4、6是第二类，图2是第三类，图3是第四类。

（追问4：图象的形状为何不同？追问5：什么因素决定 了图象的不同形状？） 生6：第一类函数的导函数有两个零点且图象开口向上， 即a＞0Δ=4（b2-3ac）＞0；

第二类有两个零点且图象开口向下，即a＜0Δ=4 （b2-3ac）＞0；
第三类满足条件a＞0Δ=4（b2-3ac）≤0；
第四类是a＜0Δ=4（b2-3ac）≤0。

设置的这些探究型问题，给了学生探究的空间和思维的 自由度，具有很大的开放性，给学生的思维赋予了灵活性、 广阔性、独创性等品质。倘若没有了探究的空间和思维的自 由度，探究也就容易停留在肤浅的层次。

学生思维上的自由度还表现在“追问”的策略上。南京 师范大学涂荣豹教授指出：“在课堂上，教师的启发应该是 由远及近的。”其大意是：教师首先提出一个很远的问题， 让学生思考一段时间，然后教师提出一个稍接近目标的问题， 再让学生思考一段时间，然后教师再提出一个更接近目标的 问题，再让学生思考一段时间，如此不断地进行下去。［2］ 所以，追问中我们需要遵循“由远及近”的原则，给学生充 分的思维空间，同时让不同层次的学生都能在教师的启发下， 思维逐渐清晰、深入，想到应该怎么做。

上述片段中的追问显现出学生的思维对象逐渐明晰，认 识由直观到抽象、由感性到理性的层层深入，深化了数学思 维。假设我们先抛出后面的追问，因为指向性太明显，学生 思考的空间就会受限，思维的培养和深化也就成了空中楼阁。

纵观整节课，三次函数的图象和性质没有硬生生地抛给 学生，达成哪些具体目标、达成的先后顺序是开放的、敞开 的。学生的思维不仅没有信马由缰，相反，学生的学习热情 得以激发，数学思维得以激活，更加积极、深入地进行探究 活动，有效促进了三次函数的单调特点、图象走势、图象形状和零点个数等知识在探究中的自然生成。高中数学探究性 教学，只有在教师探究性教学理念的驱动下，精选探究内容， 保持教学目标的开放性和探究过程的自由度，才能构建适合 学生思维需求的探究途径，拓展和深化学生数学思维，培养 学生数学素养！ 【参考文献】 ［1］MaryKayStein，MargaretSchwanSmith， MarjorieA.Henningsen，等.实施初中数学课程标准的教学 案例［M］.李忠如，译.上海：上海教育出版社，2001. ［2］芮玉贵.《复数的几何意义》的教学设计与教学反 思［J］.数学通报，2010（09）.