小议逻辑学知识在中学数学中的应用_逻辑学 数学

小议逻辑学知识在中学数学中的应用

高中数学的起始单元就是“集合与简易逻辑” 。虽然它是第一次以“逻 辑”的形式正式出现在数学教材中,但是逻辑思维方法,早从初中数学伊始,就已经 贯穿于我们学习数学的过程中了。如初中代数中的一元二次方程、一元二次方程 组,平面几何中的四种命题、反证法等,这些知识中都包含和渗透着逻辑学知识。

而高中代数中的集合、不等式组、数学归纳法,立体几何中的定义、公理、反证 法等等,更是贯穿着逻辑学知识的理解和运用。我们一定要认真理解并吸收这些 知识,掌握正确的逻辑思维方法,才能为以后的进一步学习打下坚实的基础。

既然逻辑学知识在中学数学中占据着如此重要的位置,要学好数学,我 们必须努力学习和掌握逻辑学相关知识,进而全面地理解概念,正确地进行逻辑推 理和判断。唯有如此,我们才能赢得数学学习上的胜利。

下面是我对逻辑学在中学数学部分知识中的渗透和运用的一些肤浅 理解。

一、逻辑学知识在集合中的应用 简易逻辑与集合密不可分。逻辑联结词“或”、“且”、“非”诠释着三种 不同的逻辑,它们与集合的“并”、“交”、“补”有着密切的联系。

(一)“或”可以理解为集合中的并集,是将不同集合的所有元素合成一 个集合。即AUB={x|x∈A或x∈B｝,其中的“或”是指“x∈A”或“x∈B”中至少有一 个成立。

(二)“且”可以联想到集合中交集的概念,它类似于我们惯常理解的“既 是、又是”,即AnB={X|X∈A且X∈B｝其中的“且”是指“x∈A”和“x∈B”这两个条 件同时都满足。

(三)“非”可以联想到集合中的补集。若命题P对应的集合为A,则命题非 P就应该对应着集合A在全集U中的补集CuA。

二、 逻辑学知识在概率中的应用假使我们把以上三种逻辑运用到概率中,便更容易理解了。如果事件A 与B不可能同时发生,则事件A与B为互斥事件,就像“或”对应着并集,发生的概率 是A发生的概率加B发生的概率。而对于相互独立事件,事件A与B发生的概率就是 A的概率与B的概率之乘积。如果A和B是对立事件,就满足着排斥逻辑。所以说数 学中概率的运用也同样离不开逻辑。

三 、逻辑学知识在“反证法”中的应用 从逻辑学的角度理解反证法,也就是通过推理论证矛盾命题非P的虚 假性,从而确定命题P的真实性的论证。需要注意的是,假定P与非P的结论所确定 的集合分别是A、B,且满足AUB=I(全集),AnB=ф(空集),那么“非P”结论必须包含P 的结论的所有对立面。否则我们使用反证法证题时就可能犯错误。如题:用反证 法证明:如果ab0,则√a√b。我们证明时假设√a不大于√b,则有两种情况√a√b 或者 √a=√b。这样在推理过程中,把命题结论对立面的两种情况都纳入了论证,才是正确 而完整的论证,这样得出的结论才能令人信服。

四、逻辑学知识在充分、必要、充要条件中的运用 我们知道,一般情况下,如果由p=q,那么p是q的充分条件,q是p的必要条 件。如果由p=q,又由q=p,那么p是q的充分必要条件,即充要条件。

例:条件p:|x|=x,q:x*x≥-x,判断p是q的()。

A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要 条件 解:由|x|=x得x≥0,由x*x≥-x得x≤-1或x≥0,所以若p成立则q成立,而q成立 则p不一定成立,故p是q的充分不必要条件,故选A。

五、逻辑学知识在理解判断四种命题及其相互关系的应用 在本节的学习中,我们可以从逻辑学和集合两个角度去理解概念,正确 掌握判断四种命题的方法,如定义法,集合法,转化法等。学会运用集合的观点来解 决简易逻辑中的一些问题。

当然,逻辑学知识在中学数学中的渗透和应用远远不只上述几个方面, 在高中学的其他章节的学习中,我们都会遇到诸如此类的逻辑应用问题,在此无法一一列举。

正是由于逻辑学知识在中学数学中不容忽视的作用,我们在平时的学 习过程中,一定要有意识地学习和掌握逻辑学知识。这一方面有助于我们合乎逻 辑地、准确地表达自己的数学思想、观点和方法,另一方面也有助于培养我们良 好的思维习惯和思维品质,为其他学科的学习和今后的社会实践奠定牢固的基础。

作者：龙冠桦 来源：新一代 2009年10期